Aplicaciones de las series y sucesiones

Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy conocida demostración del númeropi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua, son mucho más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico. Las series numéricas son la suma de los términos de unasucesión. Existen varios tipos de series en función de la naturaleza de la sucesión que las conforma, que pueden ser aritméticas, geométricas, basadas en funciones trigonométricas, logarítmicas,exponenciales, etcétera... Pues calcular la suma de términos de las sucesiones es de aplicación para calcular el error máximo que obtenemos al realizar una operación por un método de cálculo numérico iterativo.Imaginemos esta sucesión, de tipo geométrico, definida de forma implícita:
Xn = X(n-1) / 2, con X1=1 y donde X(n-1) es el término anterior a Xn
Cada término es la mitad del término anterior
Xn =1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128....
Se puede demostrar mediante la teoría de series que cada término es igual a la suma de todos los siguientes. Por lo tanto, si calculamos "a groso modo"una suma de números de este tipo sumando los términos uno a uno, podemos acotar el error que se produce, que puede ser todo lo pequeño que queramos a costa de invertir más tiempo sumando números. Siqueremos que el error sea menor del 1% bastaría con sumar todos los términos hasta que llegar a un término inferior a 1/100, concretamente los 8 primeros del ejemplo expuesto. Esta es la formaconcreta en la que "piensa" y resuelve los problemas complejos (integración, resolución de sistemas) una calculadora o un ordenador. Imaginemos que le damos la vuelta a la sucesión y trabajamos con:
Xn =X(n-1) · 2 X1 = 1
Xn = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,....
Aquí, del mismo modo, cada término es igual a la suma de todos los números situados a la izquierda más el primer término. Por...