aplicaciones en conicas y cuadraticas

Cap´
ıtulo 6

C´nicas y cu´dricas
o
a
6.1.

C´nicas proyectivas
o

Consideremos el plano proyectivo P2 (k). Hemos visto que una recta proyectiva es la soluˇ
ci´n de una ecuaci´n a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0, con [a0 : a1 : a2 ] ∈ P2 (k). La ecuaci´n est´ bien
o
o
o
a
definida por ser homog´nea de grado 1.
e
Definici´n 6.1.1. Una c´nica C de P2 (k) es una ecuaci´n no nula homog´neade grado
o
o
o
e
2 bien definida salvo producto por un escalar no nulo. Por abuso de notaci´n a veces se
o
identifica con su lugar de ceros.
Nota 6.1.2. Una c´nica se expresa mediante una ecuaci´n:
o
o
ax2 + bx2 + cx2 + dx0 x1 + ex1 x2 + f x0 x2 = 0.
0
1
2

(6.1)

Como los coeficientes son todos no nulos y est´n bien definidos salvo multiplicaci´n por un
a
o
escalar no nulo, unac´nica viene determinada por [a : b : c : d : e : f ] ∈ P5 (k).
o
Proposici´n 6.1.3. Sea L una recta de P2 (k) y C una c´nica. Entonces, L ∩ C puede ser
o
o
vac´a, contener un punto doble, dos puntos, o toda la recta.
ı
Nota 6.1.4. Hay otra interpretaci´n posible de las c´nicas a partir de matrices. Supongamos
o
o
que Car k = 2. La ecuaci´n (6.1) se puede escribir:
o
a00 x2 + a11 x2 + a22x2 + 2a01 x0 x1 + 2a12 x1 x2 + 2a02 x0 x2 = 0.
0
1
2
Lo podemos tambi´n escribir mediante una ecuaci´n matricial:
e
o
 

a00 a01 a02
x0
 

x0 x1 x2 a01 a11 a12  x1  = 0.
a02 a12 a22
x2

(6.2)

(6.3)

Sea A la matriz que aparece en la ecuaci´n; observemos que es un elemento de Sim(3; k), es
o
decir, es sim´trica, y que est´ bien definida salvo producto por unescalar. Por tanto, podemos
e
a
considerar el espacio de las c´nicas como P(Sim(3; k)), espacio proyectivo de dimensi´n 5.
o
o
49

´
´
CAP´
ITULO 6. CONICAS Y CUADRICAS

50

Definici´n 6.1.5. Diremos que la matriz A representa a la c´nica C de ecuaci´n (6.3). Obo
o
o
∗
servemos que las matrices representantes de C son sA, s ∈ k . La c´nica C es no degenerada
o
si A es inversible;en caso contrario se dice degenerada.
Definici´n 6.1.6. Si una c´nica es no degenerada y una recta tiene como contacto con ella
o
o
un punto doble, se dice que la recta es tangente a la c´nica; el punto de intersecci´n es el
o
o
punto de tangencia.
Proposici´n 6.1.7. Suponer que [x0 : x0 : x0 ] est´ en el lugar de ceros de una c´nica C no
o
a
o
0
1
2
degenerada de ecuaci´n (6.3).Entonces la unica recta tangente que pasa por ´l es:
o
´
e
 
x0
0
0
0 A   = 0.
(6.4)
x0 x1 x2
 x1 
x2

Proposici´n 6.1.8. Suponer que P := [x0 : x0 : x0 ] ∈ C, C c´nica no degenerada de
o
o
0
1
2 /
ecuaci´n (6.3). Entonces por ´l pasan 0 o 2 rectas tangentes a la c´nica cuyos puntos de
o
e
´
o
tangencia son los elementos de L ∩ C donde L es la recta de ecuaci´n (6.4).Si k = C pasan
o
exactamente 2.
Definici´n 6.1.9. Consideremos una c´nica C no degenerada de matriz asociada A. La
o
o
transformaci´n polo-polar es un par de aplicaciones proyectivas,
o
ˇ
P2 (k) → P2 (k),

ˇ
P2 (k) → P2 (k),

denotadas ambas TA tales que si
ˇ
[x0 : x1 : x2 ] ∈ P2 (k) resp. [a0 : a1 : a2 ] ∈ P2 (k)
son las coordenadas pl¨ckerianas de una recta, entonces su imagen porTA , llamada polar del
u
punto, resp. polo de la recta, tiene coordenadas pl¨ckerianas
u
(x0 x1 x2 )A,
resp. coordenadas homog´neas
e
(a0 a1 a2 )A−1 .
Proposici´n 6.1.10. Consideremos una c´nica no degenerada de matriz asociada A; sean
o
o
2
2
P ∈ P (k) y L recta de P (k). Entonces se tiene:
1.

T (T (P )) = P , T (T (L)) = L.

2.

P ∈ L si y solo si T (L) ∈ T (P ).

3.

Pest´ en la c´nica si y solo si P ∈ T (P ). En tal caso, T (P ) es la tangente a la c´nica
a
o
o
que pasa por P .

4.

L es tangente a la c´nica si y solo si T (L) ∈ L. En tal caso T (L) es el punto de
o
tangencia.

´
6.1. CONICAS PROYECTIVAS

51

5.

Supongamos que por P podemos trazar dos tangentes. Entonces, T (P ) es la recta que
une los dos puntos de tangencia.

6....