Aproximacion binomial por la normal

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Ejemplos

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Aproximación de la distribución binomial por la normal

Vamos a representar en un sistema de referencia distribuciones binomiales para distintos valores de n y p=0,3.
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Queremos aproximar estas distribuciones a una distribución normal estándar :
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Se puede apreciar en los gráficos anteriores como a medida que aumenta n mejora el parecido de lasgráficas de barras de las distribuciones binomiales (discretas) a la gráfica de la distribución normal estándar (continua), pero con el inconveniente de que se produce un desplazamiento hacia la derecha de la distribución binomial a medida que aumenta n.
Este inconveniente se evita, corrigiendo la variable aleatoria, Sj, restando la media (para corregir el desplazamiento) y dividiendo por ladesviación típica(para ajustar la dispersión) :
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A la nueva variable, xj le asignamos b(n,p,j). La representación, para el caso, n = 270 y p=0,3 , del diagrama de barras de la binomial corregida y de la función de densidad de la distribución normal estándar es :
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Cuando n aumenta, la longitud de las barras disminuye, cosa lógica, porque la suma de las longitudes de todas las barras es 1(función de probabilidad definida sobre una variable aleatoria discreta) ; mientras que el área bajo la función de densidad (definida sobre una variable aleatoria continua) de la distribución normal estandar, también es 1.
Para ajustar ambas funciones, tendríamos que conseguir que la suma de las áreas de los rectángulos que forman el diagrama de barras fuera 1. Como la distancia entre las barrases constante y la suma de las alturas de todas las barras es 1, el área bajo los rectángulos del diagrama de barras es igual a la distancia entre barras consecutivas.
La distancia entre barras consecutivas es :
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Por tanto, para que la suma de las áreas de los ractángulos entre barras consecutivas sea 1, es suficiente multiplicar por la inversa de la distancia entre barras consecutivas ; esdecir, a cada x j , le asignamos :
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Si la representamos para el caso n=270 y p=0,3, junto con la función de densidad de la distribución normal estándar, tenemos :
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Como se puede apreciar en la gráfica se ajustan bien ambas funciones. En resumen:

|Aproximación de la distribución binomial por la normal |
|Unadstribución binomial B(n,p) se puede aproximar por una distribución normal, siempre que n sea grande y p no esté muy |
|próxima a 0 o a 1. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación típica que la |
|distribución binomial. |
|En lapractica se utiliza la aproximación cuando : |
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|En cuyo caso : |
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|Y tipificando se obtiene la normal estándar correspondiente: |
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El Teorema Central delLímite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.
Ejemplo : la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente...