Apunte Cálculo

Coordinacion de Matem´ tica II (MAT022)
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a
Campus Santiago San Joaqu´n
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Apuntes de clases
´
Calculo

La diferencial
´
Considere el punto P = (a, f (a)) sobre la gr´ fica de una funcion diferenciable f (x). La recta tangente al
a
gr´ fico de f en el punto P esta dada por
a
y = f (a) + f (a) (x − a)
´
como f (a) y f (a) son constantes la funcion p (x) = f (a) + f (a) (x − a) es unpolinomio de grado ≤ 1.
˜
´
Considere un pequeno numero ∆x y como entrada a + ∆x (que entonces esta cercano a a) entonces
p (a + ∆x)

=

f (a) + f (a) (a + ∆x − a)

= f (a) + f (a) ∆x
´
el cambio en f es por definicion
∆f ≡ f (a + ∆x) − f (a)
entonces
f (a + ∆x) = f (a) + ∆f
Las cantidades p (a + ∆x) = f (a) + f (a) ∆x y f (a + ∆x) = f (a) + ∆f son parecidas si y solo si f (a) ∆x
´´
y ∆f son parecidas. La expresion f (a) ∆x es llamada diferencial y como veremos es una aproximacion de ∆f.
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´
Definicion 1.1. Sean y = f (x) una funcion diferenciable y a un numero en el dominio de f . Llamaremos la
´
diferencial de f en a a la cantidad f (a) ∆x. esta ser´ denotada por df o dy.
a
´
Observacion 1.1. En la definicion de diferencial hay dos variables independientes a y∆x.
´
´
Mostremos que df es en efecto una aproximacion de ∆f .
´
Error de aproximacion

=

∆f − df

= f (a + ∆x) − f (a) − f (a) ∆x
f (a + ∆x) − f (a)
− f (a) ∆x
=
∆x
si ∆x → 0 entonces

f (a + ∆x) − f (a)
− f (a) → 0
∆x
´
se sigue que el error en la aproximacion tiende a cero.
´
Es frecuente utilizar x en lugar de a en la definicion de diferencial, de esta forma se escribe
df= f (x) ∆x
donde x y ∆x son independientes.

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Universidad Tecnica Federico Santa Mar´a
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Departamento de Matematica

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´
Note que si se conoce una expresion para la derivada de inmediato conocemos una expresion para la
diferencial
d x3

=

3x2 ∆x

d (tan x)

=

sec2 x∆x

d (x)

=

∆x

´
´
por la ultima expresion se acostumbra escribir dx = ∆x y la diferencialde f se escribe
df = f (x) dx
o
dy = f (x) dx
note que los s´mbolos dy y dx tienen un significado propio y tiene sentido dividir por dx de aqu´ surge la
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ı
´
notacion
dy
= f (x)
dx
para las derivadas en donde estamos viendo dy/dx efectivamente como un cociente de diferenciales.

Teorema
Sean f y g funciones diferenciables entonces:
1. d (f + g) = df + dg
2. Si α ∈ R entonces d (αf) = αdf
3. d (f g) = (df ) g + f (dg)
4. d

f
g

=

(df )g−f (dg)
g2

5. d (f ◦ g) = f (g) dg

´
´
Definicion 1.2. La expresion p (x) = f (a) + f (a) (x − a) es llamada linealizacion de f (x) en a y representa la
´
´
mejor aproximacion mediante una recta que se puede hacer para f cerca de a.

Ejercicios resueltos
´
1. Calcular f (a + ∆x) y p (a + ∆x) cuando f (x) = x3 , a =1, ∆x = 0,1 y p (x) es la linealizacion de f en a.
Solucion: Como a + ∆x = 1,1 se sigue
´
3

f (1,1) = (1,1) = 1,331
y
p (1,1)

=

f (1) + f (1) (0,1)

=

1 + 3 (0,1)

=

1,3

´
notar que p (a + ∆x) da una buena aproximacion de f (a + ∆x).
´
2. Encontrar la linealizacion de f (x) = tan x en x =
Solucion: Como f
´

π
4

=1yf

π
4

= sec2

π
4

π
4.

´
= 2se tiene que la linealizacion es

y =1+2 x−

´
MAT022 (Calculo)

2

π
4
N.C.F.

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Universidad Tecnica Federico Santa Mar´a
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Departamento de Matematica

3. Aproximar el valor de

√
3

29

√
√
´
´
Solucion: Utilizando la funcion f (x) = 3 x, a = 27 y ∆x = 2 se sigue que una aproximacion para 3 29 es
´
√
3
29 ≈ f (27) + f (27) ∆x
1
≈ 3+
22
3 (3)
≈ 3,0741(el valor aproximado que entrega la calculadora es 3,0723).

4. El error al medir el lado de un cubo es a lo sumo de 1 %. ¿Qu´ porcentaje de error se obtiene al estimar el
e
volumen de un cubo?
Solucion: Sea x la longitud del lado del cubo y ∆x el error que se comete al aproximar x entonces
´
dx
< 0,01
x
si dV es el error en el volumen del cubo entonces el error relativo al aproximar...