APUNTE COMPLEJOS

Profesora Farini, María Rosa

Resumen de Números Complejos

Definición:
Un número complejo z es un número escrito en la forma :
z = a + bi

donde a y b son números reales e i se denomina unidad imaginaria y
satisface la relación i2 = -1.

a es la parte real de z. Notación: a = Re(z).
b es la parte imaginaria de z. Notación: b = Im(z)
Ejemplo: si z = 2 -3i , Re(z) = 2 , Im(z) = -3

Igualdad entrenúmeros complejos
Sean z1 = a + bi, z2 = c + di
z1 = z2 ⇔ Re(z1) = Re(z2) ∧ Im(z1) = Im(z)

Operaciones entre complejos escritos en forma binómica
Sean z1 = a + bi, z2 = c + di, k ∈ R
Suma:

z1 + z2 = (a + bi ) + ( c + di ) = (a +c) + (b+ d)i

Multiplicación:

z1. z2 = (a + bi ) .( c + di ) = a.(c + di) + bi.(c + di) =
= a.c + a.di + b.ci + b.di2 = a.c + a.di + b.ci - b.d (i2 =-1)
= ( a.c – b.d) +( ad + bc )i

Producto por un escalar: k.z1 = k. (a + bi ) = k.a + k.bi

Ejemplo: z1 = 3 - 4i, z2 = -1 + 2i
z1 + z2 = (3 - 4i )+ (-1 + 2i ) = ( 3 – 1 ) + ( -4 + 2)i = 2 – 2i
z1 . z2 = (3 - 4i ).(-1 + 2i ) = -3 + 6i + 4i – 8i2 = -3 + 10i – 8(-1) = 5 + 10i
3. z1 = 3 . (3 - 4i ) = 9 – 12i

Conjugado de un número complejo
El conjugado de z = a + bi es el número complejo:

z = a - bi

1

ProfesoraFarini, María Rosa

Módulo de un complejo: z

z = a + bi = a 2 + b 2

Ejemplo: z = 1 +2i , z = 12 + 2 2 = 5
Observación: z. z = (a + bi ).(a – bi) = a2 – abi +bai –b2i2 = a2 + b2 = z
Ejemplo: calcular

2

− 1 + 2i
3 + 4i

Para calcular el cociente de dos números complejos, debemos multiplicar el numerador
y el denominador por el conjugado del denominador.
− 1 + 2i
− 1 + 2i 3 − 4i 5 + 10i 5 + 10i 12
=
.
=
=
= + i
3 + 4i
3 + 4i 3 − 4i 9 + 16
25
5 5

Interpretación geométrica :
Cada número complejo z = a + bi corresponde a un punto en el plano. El eje
horizontal se llama eje real porque los puntos (a,0) corresponden a los números
reales. El eje vertical es el eje imaginario porque los puntos (o, b) en él,
corresponden a los números imaginarios puros de la forma 0+bi. El conjugado
de z es laimagen de z reflejada en el eje real. El valor absoluto de z es la
distancia de (a, b) al origen.

Eje imaginario

b

z = a+bi

a

Eje real

z = a-bi

2

Profesora Farini, María Rosa

Potencia de la unidad imaginaria
in = i4.q + r = ir
donde r es el resto de dividir n por 4, ∀n ∈ N0
Ejemplo: i14 = i4.3 + 2 = i2 = -1

Forma Polar o trigonométrica
cos θ =

a
b
b
, sen θ = , tg θ =
a≠0
ρ
ρ
a

z = a +bi = ρ cos θ + ρ sen θ.i luego la forma trigonométrica de un número complejo
es:
z = ρ (cos θ + i.sen θ )

donde ρ = z = a + bi = a 2 + b 2 es el módulo de z y θ

se llama argumento de z.

Im z

z
z 

θ
Re z

Observación: la suma o la resta de cualquier entero múltiplo de 2π proporciona otro
argumento de z. Pero existe sólo un argumento θ que satisface 0 ≤ θ ≤ 2π y que se
conoce como argumentoprincipal de z

Argumento principal de un número complejo:
Dado z = a + bi, z ≠ 0, el argumento principal de z es el ángulo θ que satisface:
a = ρ cos θ ∧ b= ρ sen θ ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π.
Ejemplo: Escribir los números complejos z = 1+ i y w = 1- 3 i en forma polar por
medio de su argumento principal.
ρ = z = 1 + i = 12 + 12 = 2 y tg θ =

1
π
= 1, luego θ =
y resulta:
1
4

3

Profesora Farini, María Rosa1+i=

2 . ( cos

π
π
+ i sen ).
4
4

ρ = w = 1 − 3i = 12 + (− 3 ) 2 = 4 = 2 y tg θ =

θ=-

− 3
= − 3 , luego
1

π
π
π
y resulta: 1− 3 i = 2.[cos (- )+ i sen(- )].
3
3
3

Operaciones en forma trigonométrica
Sean z1 = ρ1(cos θ1 + i.sen θ1) z2 = ρ2 (cos θ2 + i.sen θ2 )
Multiplicación: z1. z2 =ρ1.ρ2 [cos (θ1 + θ2 ) + i. sen ( θ1+ θ2 )]
z1 ρ 1
=
. [cos (θ1 - θ2 ) + i. sen ( θ1 - θ2 )], z2 ≠ 0
z2 ρ2División:

Potenciación de exponente natural: zn = ρn [cos (nθ) + i. sen (nθ)] n ∈ N ( fórmula de
De Moivre )

Ejemplo: Realizar la multiplicación y el cociente de z = 1+ i y w = 1- 3 i en forma
polar.

π π
π π
(1+ i ). (1- 3 i ) = 2. 2 [cos ( - )+ i sen( - )].
4 3
4 3
= 2. 2 [cos (-

(1 + i )

π
π
)+ i sen(- )].
12
12

= …………………………………………

(1 - 3 i )

= ………………………………………….

Ejemplo: Calcular (1+ i )...