Apuntes de clase

Unidad 2

Límite funcional

Mg. Betina Williner

ANALISIS MATEMÁTICO I
APUNTES DE CLASE
UNIDAD 2: LIMITE FUNCIONAL
Temas a tratar
Distancia entre dos números reales. Entorno y entorno reducido. Límite finito. Definición.
Interpretación gráfica. Unicidad del límite. Propiedades del límite. Teorema de
intercalación. Límites laterales
Infinitésimos. Definición. Álgebra de infinitésimos. Propiedades.Comparación de
infinitésimos. Límites infinitos. Límites de variable infinita. Límites infinitos de variable
infinita. Cálculo de límites. Indeterminaciones. Ecuaciones de las asíntotas a curva plana.
Continuidad. Función continua en un punto. Continuidad en un intervalo abierto y en un
intervalo cerrado. Álgebra de funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas
Discontinuidades.Clasificación. Teorema del valor intermedio, Teorema de Bolzano.
Antes de comenzar a desarrollar la Unidad de límite funcional, necesitamos conocer dos
conceptos que nos servirán para poder interpretar la definición formal de límite. Ante de
darlos recordemos que para calcular la distancia entre dos números reales a y b hacemos:

d ( a, b) = a − b
Entorno de centro “a” y radio “r”: es el conjunto denúmeros reales cuya distancia a x = a es
menor que r. En símbolos:

E (a, r ) = Er (a) = {x ∈ R / d ( x, a) < r} = {x ∈ R / x − a < r} = (a − r , a + r )
Gráficamente:

Ejemplo 2.1:
a) E (−2,3) = E3 (2) es un entorno de centro a = -2 y radio r = 3, por lo tanto es el intervalo
abierto (-5,1)
b) {x ∈ R / x − 1 < 2} es un entorno de centro a = 1 y radio r = 2, por lo tanto es el intervalo
(-1,3)
c)El intervalo (-4,6) es un entorno de centro a = 1 (punto medio del mismo) y radio r = 5
(distancia entre cualquiera de los dos extremos y el centro)

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Entorno de reducido centro “a” y radio “r”: es el conjunto de números reales distintos de
“a” y cuya distancia a x = a es menor que r. En símbolos:

E * (a, r ) = E * r (a) = {x ∈ R / d ( x, a) < r∧ x ≠ a} = {x ∈ R / 0 < x − a < r} = (a − r , a + r ) − {a}
Gráficamente:

En los ejemplos anteriores:
a) E * (−2,3) = E *3 (2) es un entorno reducido de centro a = -2 y radio r = 3, por lo tanto es
el conjunto de números reales (-5,1) – {-2}
b) {x ∈ R / 0 < x − 1 < 2} es un entorno reducido de centro a = 1 y radio r = 2, por lo tanto es
el conjunto de números reales (-1,3)-{1}
c) La unión deintervalos (-4,1) U (1,6) es un entorno reducido de centro a = 1 y radio r = 5.
Hacia una definición de límite
Ejemplo 2.2: Dada la siguiente función:

x2 − x − 2
f ( x) =
x−2
Cuyo dominio es el conjunto D f = R − {2} queremos estudiar el comportamiento de las
imágenes f(x) cuando x se acerca a a = 2, por derecha (valores mayores) y por izquierda
(valores menores). Es decir si bien la función en x =2 no está definida, ya que no existe
f(2) queremos analizar qué pasa con las imágenes de puntos cercanos. ¿Cómo podemos
hacerlo? Una posibilidad sería realizar el gráfico, la otra es trabajar en registro numérico, es
decir armar una tabla. Haremos las dos cosas comenzando con esta última:
x
f(x)

1.5
2.5

1.9
2.9

1.99
2.99

1.999
2.999

2
--------

2.001
3.001

2.01
3.01

2.1
3.1

2.5
3.5

Siobservamos la tabla, las imágenes de los puntos cercanos a a = 2 (de ambos lados) se
x2 − x − 2
=3
x−2
x→2

acercan al valor 3. En símbolos escribiremos: lim
Gráficamente:

2

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¿Cómo pudimos graficar f? Si observamos el cociente podemos realizar, para x ≠ 2 la
siguiente simplificación:

f ( x) =

x 2 − x − 2 ( x − 2)( x + 1)
=
= x +1
x−2
x−2

para x ≠2

Ejemplo 2.3: Tomemos ahora la siguiente función y hagamos lo mismo:
 x2 − x − 2
x≠2

 x−2
h( x ) = 
 1
x=2


Esta función tiene dominio todo el conjunto de números reales y difiere de f sólo en un
punto: el punto (2,1) está en h y no en f. Grafiquemos:

3

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Y armemos la tabla:
x
h(x)

1.5
2.5

1.9
2.9

1.99
2.99

1.999
2.999

2
1

2.001...