Apuntes

Apuntes del Curso Elementos de Álgebra
(Primera Versión)

Profesor: Pablo Dartnell
Auxiliar: María Isabel Cortés

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Capítulo 1
Elementos de Teoría de Grupos.
1.1 Deniciones básicas.
Denición
Un Monoide es una estructura algebraica con operación (M, ∗) tal que:
1. ∗ es asociativa
2. ∗ tiene neutro , 1 ∈ M

Denición
Grupo es una estructura con una operación (G, ∗) tal que:1. ∗ es asociativa en G
2. ∗ tiene neutro, 1 ∈ G
3. todo elemento x ∈ G tiene inverso x−1 ∈ G

Ejemplo: (Z, +) es grupo
Denición
Un grupo se dice Abeliano si la operación es conmutativa
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CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS.

Ejemplo:
Sean Bn = {1..n} y Sn =
n = {σ : Bn → Bn /σ es biyección} .Sn es el conjunto de
permutaciones con n letras. (Sn , ◦) es grupo , con ◦ lacomposición de funciones. Es
abeliano si n ≤ 2 . Si n ≥ 3 no es abeliano.

1
2
...
n
σ(1) σ(2) . . . σ(n)

Las permutaciones se anotan como σ =

∈ Sn

1. n ≤ 2
a) n = 1 ⇒ Sn = S1 = {id{1} } , obviamente ({id{1} }, ◦) es abeliano.
b) n = 2 ⇒ Sn = S2 = {σ1 , σ2 }

σ1 =

1 2
1 2

= id{1,2}

σ2 =

1 2
2 1

id σ
id id σ
σ

σ

id

⇒ es abeliano.
1. n ≥ 3 , hay n!elementos (permutaciones).
a) n = 3

σ=

1 2 3
2 3 1

τ=

1 2 3
2 1 3

σ◦τ =

1 2 3
3 2 1

τ ◦σ =

1 2 3
1 3 2

σ ◦ τ = τ ◦ σ ⇒ S3 no es abeliano.
b) n ≥ 3

σ=

1 2 3 4 ... n
2 3 1 4 ... n

τ=

1 2 3 4 ... n
2 1 3 4 ... n

σ ◦ τ = τ ◦ σ ⇒ Sn no es abeliano.

1.2 Buenas Funciones entre Grupos: Morsmos
Denición
Sean (G ∗), (H, ∗H ) dos grupos . Un Morsmo(u homomorsmo) entre ellos es una función
f : G → H tal que: (∀x, y ∈ G) f (x ∗ y) = f (x) ∗H f (y) .
Un morsmo como este se suele denotar por f : (G, ∗) → (H, ∗H )
Nombres especiales:

1.3. LOS BUENOS SUBCONJUNTOS DE UN GRUPO: SUBGRUPOS.

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• Un morsmo inyectivo, se dice monomorfismo.
• Un morsmo sobreyectivo, se dice epimorfismo.
• Un morsmo biyectivo, se dice isomorfismo.
•Un morsmo del grupo (G, ∗) en si mismo , endomorfismo .
• Un isomorsmo de (G, ∗) en si mismo, automorfismo.

Observación:
Un morsmo de grupos realmente lleva una estructura a la otra. Si f : (G, ∗) → (H, ∗H ) es
morsmo, entonces:

• f (1G ) = 1H
• (∀x ∈ G) f (x−1 ) = f (x)−1
(Ejercicio )

1.3 Los Buenos Subconjuntos de un Grupo: Subgrupos.
Denición:
Sea (G, ∗) un grupo.Unsubconjunto H ⊆ G se dice subgrupo si sólo si :
1. ∗ es cerrado en H . Es decir, (∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H)
2. (H, ∗ |H ) es tambiénun grupo.

Observación:
Si H es un subgrupo de (G, ∗) el neutro de ∗ en H es el mismo que el neutro de ∗ en G , y
(∀x ∈ H) el inverso de x para ∗ en H es el mismo que tenía en G. (Ejercicio )

Ejercicio:
H subgrupo de (G, ∗) ssi:
• ∗ es cerrada en H
• 1∈G
• (∀x ∈H) x−1 ∈ H

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CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS.

Prop
(Caracterización de Subgrupos). H ⊆ G es subgrupo del grupo (G, ∗) ssi:
1. H = ∅
2. (∀x, y ∈ H) x ∗ y −1 ∈ H
(ejercicio)

Ejercicio:
Sean (G, ∗) (L, ·) dos grupos y f : G → L un morsmo.Entonces:
1. Si H ⊆ G es subgrupo f (H) ⊆ L es subgrupo.
2. Si K ⊆ L es subgrupo, entonces f −1 (K) ⊆ G es subgrupo .

Denición
Seaf : (G, ∗) → (L, ·) un morsmo de grupos . Se denen los siguientes conjuntos:
1. Núcleo de f : Kerf = f −1 {1} = {x ∈ G/f (x) = 1} ⊆ G.
2. Imagen de f : Imf = f (G) ⊆ L .
Es fácil probar que Kerf e Imf son subgrupos de G y L respectivamente.
Obviamente f sobreyectiva⇔ Imf = L .

Prop
f morsmo inyectivo ⇔ Kerf = {1} .

Dem.
⇒) (ejercicio)
⇐)
Si x, y ∈ G son tales que f (x) = f (y) ⇒f (x) ∗ f (y)−1 = 1 ⇒ f (x) ∗ f (y −1 ) = 1 ⇒
f (x ∗ y −1 ) = 1
i.e x ∗ y −1 ∈ Kerf = {1} ⇒ x = y

1.4. BUENOS CUOCIENTES EN GRUPOS.

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1.4 Buenos Cuocientes en Grupos.
Denición.
Sea (G, ∗) un grupo.Una relación de equivalencia ≈ en G se dice compatible con ∗ ssi:
(∀x, x , y, y ∈ G) x ≈ x ∧ y ≈ y ⇒ x ∗ y ≈ x ∗ y

Observación:
Dada una relación de equivalencia ≈ en G...