Area bajo una curva

Taller

Estimación del área bajo una curva

utilizando una planilla de cálculo.

Mg. Ana E. Rosso

Septiembre 2005

Cálculo del área bajo una curva

Situación Problema
Un campo estáatravesado por un río y queremos calcular cuantas ha cultivables tiene ese terreno, sabiendo que a lo largo de la ribera, del río al lado de las márgenes se dejan 5 metros de cada lado. El siguientedibujo ilustra la situación:

Los datos aportados fueron diferentes mediciones realizadas desde la Calle 1 a la margen norte del río (tabla 1) y desde la calle 2 a la margen sur del río (tabla2) .El ancho (y Km) del terreno es la distancia desde un punto (x Km) de la calle a la marca de la ribera una distancia x de la calle. Esos valores se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 1
(Km) 00,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Y(Km) 0,54 0,83 0,72 0,62 0,74 0,82 0,68 0,72 0,98 1,03 0,89

Tabla 2
X(Km) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4, 4,5 5
Y(Km) 0,96 0,89 1,12 0,87 0,98 0,86 0,79 0,48 0,68 0,760,94


1. Introducción

Es bien conocido por nosotros que podemos calcular el área bajo una curva utilizando una integral definida . En ciertas ocasiones no es posible calcular exactamenteel área utilizando este recurso ya que puede ser que no se conozca una primitiva de la función f(x), o ésta sea muy complicada o también puede suceder que no se conozca una expresión analítica para lafunción, sino que el integrando venga definido por una tabla de valores. En esos casos es posible realizar una estimación o una aproximación del valor del área basado en el hecho que:

Si tenemosuna función continua, no negativa para todo punto del intervalo [a,b]; si dividimos el intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales entre sí de longitud (b-a)/n entonces

donde los puntos xk son lospuntos de la partición en n-puntos del intervalo [a,b] y es la longitud del k-ésimo intervalo.

Así es que, tomaremos como aproximación del área a la suma parcial . Basados en las propiedades de...