Axioma Del Supremo

Aplicando el Axioma del Supremo
Manuel Ibarra Contreras, Armando Mart´ ınez Garc´ ıa Benem´rita Universidad Aut´noma de Puebla e o Puebla , M´xico e

El objetivo de este art´ ıculo es aplicar el Axioma del Supremo para demostrar los siguientes resultados Para todo x ∈ R existe a ∈ Z tal que x ∈ [a, a + 1). (1)

Para cada α ≥ 0 existe x0 ∈ R tal que x2 = α. 0

(2)

La intenci´n de estapresentaci´n es que sirva de apoyo a los estudiantes o o de primer ingreso de una Facultad de Ciencias y que se inician en el estudio axiom´tico de los n´meros reales. Tambi´n es importante destacar que el a u e primer resultado se puede obtener usando solamente la Propiedad Arquimediana de los n´meros reales sin usar el axioma del supremo, no obstante u aqu´ quisimos verlo como una aplicaci´n de´ste ultimo. ı o e ´ Para probar el segundo resultado, s´ necesitamos de la completez de los ı n´meros reales, es decir, el axioma del supremo es necesario para probar su u validez y para ello basta se˜alar que sin este axioma es imposible probar (2) n para α = 2. Comenzaremos dando las definiciones y resultados que usaremos para obtener (1). Denotaremos con R, Z y N a los conjuntos de n´meros reales,enteros y u naturales, respectivamente. Es conocido (ver Teorema 6.1 de [2005]) que si a ∈ Z entonces (a, a + 1) ∩ Z = Ø. Ahora, si a, b ∈ Z con a < b son tales que (a, b) ∩ Z = Ø entonces b = a + 1. (4) (3)

En efecto. Si b < a + 1, como a < b entonces b ∈ (a, a + 1), de donde (a, a + 1) ∩ Z = Ø lo cual contradice (3). Si a+1 < b, como a < a+1 entonces a+1 ∈ (a, b), de donde (a, b)∩Z = Ø locual contradice nuestra suposici´n. o Como consecuencia, por tricotom´ se tiene que b = a + 1. ıa Con lo anterior tenemos demostrado el siguiente resultado. 1

Teorema 1. Sean a, b ∈ Z con a < b. Entonces (a, b) ∩ Z = Ø si y s´lo si b = a + 1. o Enunciemos ahora el Axioma del Supremo y algunos resultados obtenidos a partir de ´l. e Recordemos antes la siguiente definici´n. o Definici´n 2. Sean A ⊂R y a0 ∈ R. o i) a0 es cota superior de A si para todo a ∈ A, a ≤ a0 .est´ a ii) a0 es cota inferior de A si para todo a ∈ A, a0 ≤ a. En caso de que se d´ el inciso (i), diremos que A est´ acotado superiore a mente y si esto no se satisface diremos que A no est´ acotado superiormente. a En forma an´loga, en caso de que se d´ el inciso (ii), diremos que A est´ a e a acotado inferiormente y si estono se satisface diremos que A no est´ acotado a inferiormente. Definici´n 3. Sean A ⊂ R y a0 ∈ R. a0 es el supremo de A si: o i) Para todo a ∈ A, a ≤ a0 y ii) Si para todo a ∈ A, a ≤ c, entonces a0 ≤ c.

Axioma del Supremo. Si A ⊂ R con A = Ø y A est´ acotado a
superiormente entonces A tiene supremo, es decir, existe a0 ∈ R tal que a0 es el supremo de A. Los siguientes resultados se siguen delAxioma del Supremo. Teorema 4. N no est´ acotado superiormente. a ´ Demostracion. Supongamos que N est´ acotado superiormente. Como a N = Ø, aplicando el Axioma del Supremo existe α ∈ R tal que α = sup N. Como α − 1 < α existe n0 ∈ N tal que α − 1 < n0 de donde α < n0 + 1 lo cual contradice la definici´n de α. o Corolario 5. Z no est´ acotado superiormente. a ´ Demostracion. Para esto es suficienteobservar que N ⊂ Z. Corolario 6. Z no est´ acotado inferiormente. a ´ Demostracion. Es suficiente observar que N− = {−n : n ∈ N} ⊂ Z y N− no est´ acotado inferiormente, lo cual se sigue del Corolario 5. a Definamos ahora el m´ximo y m´ a ınimo de un conjunto. Definici´n 7. Sean A ⊂ R y a0 ∈ A. o i) a0 es el m´ximo de A si para todo a ∈ A, a ≤ a0 a ii) a0 es el m´ ınimo de A si para todo a ∈ A, a0 ≤ a.2

Notemos que si A ⊂ R tiene m´ximo, digamos a0 , entonces A tiene a supremo, a saber, a0 = sup A; pero si A tiene supremo, no necesariamente tiene m´ximo, por ejemplo, A = (0, 1) tiene al 1 como supremo pero no tiene a m´ximo. a Teorema 8. Sean A ⊂ Z con A = Ø y A acotado superiormente. Entonces A tiene m´ximo. a ´ Demostracion. Como A ⊂ Z, entonces A ⊂ R y, dado que A = Ø y A est´...