axioma y supremo

Compleción de los reales.
Definición. Si X es un subconjunto de , un número
real se dice que es una cota superior de X si, para
cualquier elemento
,se cumple que
.
Análogamente, un número realse dice que es una
cota inferior de si, para cualquier elemento
,
se cumple que
.
Un subconjunto
de
se denomina acotado
superiormente
(respectivamente
acotado
inferiormente), si
tienealguna cota superior
(respectivamente inferior). Se dice que es acotado
si lo es superior e inferiormente.
Si es un subconjunto
una cota superior de
escribiéndose
otra cota superior de
condicionessiguientes:

1)
2)

de acotado superiormente,
se denomina supremo de ,
, si es menor que cualquier
, esto es, si cumple las dos

.

De forma análoga, si
es un subconjunto de
acotadoinferiormente, una cota inferior
se
denomina ínfimo de , escribiéndose
es
mayor que cualquier otra cota inferior de , es decir,
si verifica las 2 condiçiõnes siguientes:

1)
2)
Cuando el supremode un conjunto cumple
, se dice que el supremo de
es accesible y se
denomina entonces máximo de , escribiéndose
Si el ínfimo de un subconjunto pertenece a
dicho conjunto, se denomina mínimo dey se
escribe

Ejemplos.a) El conjunto
, no está
acotado superiormente ya que no existe
ningún número real tal que
.
No obstante dicho conjunto está acotado
inferiormente pues todo númeroreal negativo
es cota inferior de
ya que se cumple
.
b)

Tiene cota inferior.
Tiene cota superior.
Tiene Máx = 1.
Tiene mín = 0.

c)
Tiene cota inferior, como

.

Tiene cota superior,como 3.
Tiene Máx = 1.
Tiene mín =

.

d)
Tiene cota superior, como .
Tiene cota inferior, como .
Tiene Máx = .
No tiene mín.
Axioma del supremo.
Si es un conjunto de números reales no vacíoy
acotado superiormente, existe sup .
Teorema.- Si es un conjunto de números reales no
vacío y acotado inferiormente entonces
tiene
ínfimo.
Demonstración. Sea una cota inferior de & el...