Axioma del supremo

Cota Superior e Inferior
Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie de
definiciones que sirven para acotar conjuntos: cotas superiores einferiores, máximos y mínimos, supremos e
ínfimos.
Acotado Superiormente
Un conjunto A es acotado superiormente si existe un real M que es mayor que todos los elementos del
conjunto A, es decir(9M 2 R) (8x 2 A) tal que: x  M.
A este número M, se le llamará cota superior de A.
Observación
Cualquier otro real mayor que M, también será una cota superior de A.
Acotado Inferiormente
Unconjunto A es acotado inferiormente si existe un real m que es menor que todos los elementos del
conjunto A, es decir
(9m 2 R) (8x 2 A) tal que: m  x.
A este número m se le llamará cota inferior de A.Observación
Cualquier otro real menor que m, también será una cota inferior de A.
Observación
Un conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.
Axioma del Supremo.
Máximo y MínimoMáximo
Diremos que un conjunto A posee máximo, si posee una cota superior que pertenece al conjunto.
Mínimo
Diremos que un conjunto A posee mínimo, si posee una cota inferior que pertenece alconjunto.
Observación
Estas dos definiciones nos dicen que el máximo de un conjunto es el mayor elemento del conjunto y que
el mínimo de un conjunto es el menor elemento del conjunto.
Si el máximoexiste, este es único. Lo mismo ocurre con el mínimo.
Ejemplo
1 A = (−1, 5) . No posee máximo, ya que el conjunto de todas las cotas superiores es [5,1) y
(−1, 5] \ [5,1) = ;.
2 A = [−1, 3] . Poseecomo mínimo a −1 y como máximo a 3.
Supremo
Diremos que un conjunto A posee supremo, si existe un real s que satisface las dos siguientes condiciones:
1 s es una cota superior de A.
2 Cualquier otracota superior de A es mayor que s.
Notación
El supremo de A, se denota por supA.
Ínfimo
Diremos que un conjunto A posee ínfimo, si existe un real u que satisface las dos siguientes condiciones:...