Axioma y axioma del supremo

Semana 08 [1/15]

Axioma del Supremo

April 18, 2007

Axioma del Supremo

Acotamiento de conjuntos Semana 08 [2/15]

Cota Superior e Inferior

Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie de definiciones que sirven para acotar conjuntos: cotas superiores e inferiores, máximos y mínimos, supremos e ínfimos.

AcotadoSuperiormente
Un conjunto A es acotado superiormente si existe un real M que es mayor que todos los elementos del conjunto A, es decir
(∃M ∈ R) (∀x ∈ A) tal que: x ≤ M .

A este número M , se le llamará cota superior de A.

Observación
Cualquier otro real mayor que M , también será una cota superior de A.

Acotado Inferiormente
Un conjunto A es acotado inferiormente si existe un real m que esmenor que todos los elementos del conjunto A, es decir
(∃m ∈ R) (∀x ∈ A) tal que: m ≤ x .

A este número m se le llamará cota inferior de A.

Observación
Cualquier otro real menor que m, también será una cota inferior de A.

Observación
Un conjunto acotado superior e inferiormente, se dice acotado.

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Acotamiento de conjuntos Semana 08 [3/15]

Cota Superior eInferior

Ejemplos

1 A = (−∞, 5). Este intervalo es acotado superiormente, una cota superior es 5, y el conjunto de las cotas superiores es [5, ∞).
No hay cotas superiores m < 5, ya que siempre existe ε > 0 tal que m + ∈ A y m < m + ε.
El intervalo no es acotado inferiormente pues dado un real m < 5, una cota inferior para m sería m − 1, pero m − 1 ∈ A.

1 A = [−1, 3] .Este intervalo es acotado superior e inferiormente. El conjunto de las cotas superiores es el
intervalo [3, ∞). Y el de las cotas inferiores es el intervalo (−∞, −1] .

Observación
Una forma de demostrar que un real c es una cota superior para un conjunto A, es probar que ningún real
x > c pertenece a A.

Ejemplo
A = x ∈ R : x 2 ≤ 2
Veamos si c = 3 es cota superior de A. Si x> 3 , entonces x 2 > 3

2 = 9 > 2. Por lo tanto x ∈/ A. Esto quiere

2 2 2 4
2
decir que ningún real mayor que 3 puede estar en A.

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Acotamiento de conjuntos Semana 08 [4/15]

Máximo y Mínimo

Máximo
Diremos que un conjunto A posee máximo, si posee una cota superior que pertenece al conjunto.

Mínimo
Diremos que un conjunto A poseemínimo, si posee una cota inferior que pertenece al conjunto.

Observación
Estas dos definiciones nos dicen que el máximo de un conjunto es el mayor elemento del conjunto y que
el mínimo de un conjunto es el menor elemento del conjunto.
Si el máximo existe, este es único. Lo mismo ocurre con el mínimo.

Ejemplo

1 A = (−∞, 5) . No posee máximo, ya que el conjunto de todas las cotassuperiores es [5, ∞) y
(−∞, 5] ∩ [5, ∞) = ∅.
2 A = [−1, 3] . Posee como mínimo a −1 y como máximo a 3.

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Acotamiento de conjuntos Semana 08 [5/15]

Supremo e Infimo

Supremo
Diremos que un conjunto A posee supremo, si existe un real s que satisface las dos siguientes condiciones:
1 s es una cota superior de A.
2 Cualquier otra cota superior de A esmayor que s.

Notación
El supremo de A, se denota por sup A.

Ínfimo
Diremos que un conjunto A posee ínfimo, si existe un real u que satisface las dos siguientes condiciones:
1 u es una cota inferior de A.
2 Cualquier otra cota inferior de A es menor que u.

Notación
El ínfimo de A, se denota por inf A.
Ejemplo

1 A = (−∞, 5) . Tiene como supremo el valor 5, ya que 5 escota superior del conjunto y cualquier otra cota superior de A será mayor que 5. No tiene ínfimo pues no está acotado inferiormente.

1 A = [−1, 3] .Está acotado superior e inferiormente y tiene a −1 como ínfimo y a 3 como supremo (−1 es
mínimo y 3 es máximo ).

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Acotamiento de conjuntos Semana 08 [6/15]

Características de intervalos

Resumimos ahora las...