Ayudantía Estadística

EYP2113 - Estad´ ıstica Ejemplo Selecci´n de Modelos o

Junio’09

Se realizo una investigaci´n experimental del calor producido durante el endurecimiento del cemento de o Portland, considerado como una funci´n de la composici´n qu´ o o ımica del cemento. A continuaci´n se muestran o los datos obtenidos, los cuales indican la relaci´n entre el calor producido y el aumento de 4 componente o qu´ımicos contenidos en los envases utilizados para producir cemento. Los componentes considerados en el estudio fueron: Tricalcium (X1 ), Tricalcium silicate (X2 ), Tetrecalcium alumino ferrite (X3 ) y Dicalcium silicate (X4 ). En los datos se consignan los porcentajes de estos componentes. Adem´s, el calor (Y ) luego de a 180 d´ de proceso esta dado en calor´ por gramo de cemento. ıas ıas Y 78.574.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4 Selecci´n FORWARD o Tomamos como referencia el modelo Y = β0 + ε y escogemos el modelo con la variable que obtenga un mayor R2 . Modelo 0.1: Y = β0 + β1 X1 + ε ⇒ R2 = 0.533948 Modelo 0.2: Y = β0 + β1 X2 + ε ⇒ R2 = 0.6662683 Modelo 0.3: Y = β0 + β1 X3 + ε ⇒ R2 = 0.2858727 Modelo 0.4: Y = β0 + β1 X4 + ε ⇒ R2 = 0.674542 Se escoge elModelo 0.4 con la variable X4 . Iteraci´n 1: Manteniendo la variable X4 , los posibles modelos ser´ o ıan: Modelo 1.1: Y = α0 + α1 X4 + α2 X1 + ε ⇒ R2 = 0.972471 Modelo 1.2: Y = α0 + α1 X4 + α2 X2 + ε ⇒ R2 = 0.6800604 Modelo 1.3: Y = α0 + α1 X4 + α2 X3 + ε ⇒ R2 = 0.9352896 Mayor incremento se obtienen con el Modelo 1.1 con las variables X4 y X1 . Determinemos ahora si este incremento es significativoa partir del estad´ ıstico F = donde
EYP2113 - Estad´ ıstica Primer Semestre 2009 2 2 R1 − R2 /q , 2 (1 − R1 ) /(n − k1 − 1)

X1 7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10

X2 26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68

X3 6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8

X4 60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12

1

Profesores: Ricardo Aravena Ricardo Olea

2 R1 : R2 del modelo m´s complejo. a 2 R2 : R2 del modelom´s simple. a

k1 : n´mero de variables en el modelo m´s complejo. u a k2 : n´mero de variables en el modelo m´s simple. u a n : n´mero de observaciones. u q : (n − k2 − 1) − (n − k1 − 1) = k1 − k2 . Si F > Fα (q, n − k1 − 1) se rechaza la hip´tesis que no hay diferencia entre los modelos. o Reemplazando se tiene que F = 108.2239 > Fα=0.05 (1, 10) = 4.964603, es decir, el incremento en lacalidad de ajuste del modelo es significativa. Iteraci´n 2: Manteniendo la variable X4 X1 , los posibles modelos ser´ o ıan: Modelo 2.1: Y = γ0 + γ1 X4 + γ2 X1 + γ3 X2 + ε ⇒ R2 = 0.9823355 Modelo 2.2: Y = γ0 + γ1 X4 + γ2 X1 + γ3 X2 + ε ⇒ R2 = 0.981281 Mayor incremento se obtienen con el Modelo 2.1 con las variables X4 , X1 y X2 . El estad´ ıstico F = 5.025865 < Fα=0.05 (1, 9) = 5.117355, es decir, elincremento en la calidad de ajuste no es significativa. Por lo tanto el modelo seleccionado es Y = α0 + α1 X4 + α2 X1 + ε

EYP2113 - Estad´ ıstica Primer Semestre 2009

2

Profesores: Ricardo Aravena Ricardo Olea

Selecci´n BACKWARD o Tomamos como referencia el modelo completo Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + β3 X3 + β4 X4 + ε y eliminamos la variable menos significativa. El resumen del modelocompleto es: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 62.4054 70.0710 0.891 0.3991 X1 1.5511 0.7448 2.083 0.0708 . X2 0.5102 0.7238 0.705 0.5009 X3 0.1019 0.7547 0.135 0.8959 X4 -0.1441 0.7091 -0.203 0.8441 Iteraci´n 1: Se elimina la variable X3 . o Para el modelo Y X1 + X2 + X3 + X4 el R2 = 0.9823756 y para el modelo Y X1 + X2 + X4 el R2 =0.9823355. El estad´ ıstico F = 0.01823347 < Fα=0.05 (1, 8) = 5.317655, es decir, el incremento en la calidad de ajuste no es significativa. Por lo tanto el modelo seleccionado es Y = α0 + α1 X1 + α2 X2 + α X4 + ε Cuyo resumen es el siguiente: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X4) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 71.6483 14.1424 5.066 0.000675 *** X1 1.4519 0.1170 12.410...