Bachiller

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

“Arquímedes seguirá siendo recordado cuando el mundo haya olvidado a Esquilo, porque las lenguas mueren y las ideas matemáticas no. Puede que “inmortalidad” sea una palabra absurda pero quizás un matemático tenga más probabilidades que nadie de aproximarse a su posible significado”

G. H. Hardy a mathematical apology“La inmortalidad, aquel sueño vanidoso de ser recordado por generaciones futuras por los aportes al desarrollo de la humanidad, es menos probable que el recuerdo de aquellos siempre presentes actores de pesadillas que han marcado el hilo de la historia”
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La Distribución Normal
Se le atribuye a Karl Friedrich Gauss, 1777-1865, matemáticoalemán quien demostró el teorema fundamental del álgebra e hizo notorias contribuciones a otras ciencias. Abraham de Moivre, 1667-1754, matemático británico de origen y formación francesa, ya había antes que Gauss logrado la aproximación normal de la distribución binomial. Este resultado de Abraham profundizó el concepto de probabilidad al conectar una va discreta con una continua, es decir, lasfrecuencias relativas con valores estables de probabilidad

Definición. La variable aleatoria continua vac. X se distribuye normalmente con media y varianza si su función de distribución de probabilidad (fdp) es:


Propiedades gráficas de la distribución normal.

1) El eje x es una asíntota horizontal de f, esto es, .
2) La vertical es eje de simetría de f,esto es para todo a.
3) es un máximo de f, esto es y .
4) son los puntos de inflexión de f así .

Propiedades probabilísticas de la normal
5) para probar esto es mejor probar que . Resulta aquí una doble integral que se puede resolver mediante coordenadas polares.
6) 7)
6) y 7) se comprueban integrandodirectamente.

Algunas representaciones gráficas permiten visualizar ciertas relaciones de localización según y picudez de para diferentes normales; observe:
|
Mayor densidad de información alrededor de 1.

Igual densidad de información alrededor de 1 y 2.

Mayor densidad de información alrededor de 2.

Estandarización de la distribución normal
Si la vac X se distribuye y efectuamos elcambio de variable , entonces z es también una vac que se distribuye . Basta simplemente sustituir en la fdp original y observar que la nueva función, que llamaremos Normal Estándar cumple las propiedades probabilísticas. Observe que, independientemente de la fdp de la variable X, según las propiedades de la Esperanza y la Varianza:

El proceso de estandarización permite la equivalenciaprobabilística entre cualquier campana y la estandarizada , lo que es simplemente un cambio de origen y escala. Así:


Observe que ahora n(0,0,1)= es el máximo y que:
n (±1, 0, 1) = son los puntos de inflexión.

Función de Probabilidad Acumulada Normal Estándar.
Se denota como Ф (z) y se define como

Así:

Según el teorema fundamental.

Si por ejemplo queremos hallar laprobabilidad correspondiente a una región simétrica, esto es, ,

En la figura la simetría muestra que las colas sombreadas son de igual área o valor de probabilidad así:
, de donde

Observe que Φ (0) = P (-<z<0)=, media campana
Y por lo tanto si c=0
=2 Φ (0)-1=0

La siguiente tabla permite leer los valores acumulativos de probabilidad con una precisión de cuatro cifras decimalespara valores de z con dos cifras decimales significativas. No solo informa sobre las probabilidades de la normal estándar de media 0 y desviación 1 sino que informa sobre cualquier distribución normal con media μ y desviación σ que, sabemos, se puede estandarizar.

Tabla 1.  Áreas bajo la curva normal estándar.  Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad...