Binomio de Newton

ÁLGEBRA

UNIDAD 8

Binomio de Newton

Definición

Dado un número entero positivo "n", se define su factorial al producto de los
factores consecutivos desde la unidad hasta dicho número propuesto.

at

.c
a1
ic

em

at

Existen dos notaciones: n! y n
Ejemplos:

1!
= 1 = 1

2! = 2 = 1 × 2 = 2

3! = 3 = 1 × 2 × 3 = 6

4! = 4 = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Engeneral:

om

Notación

n∈N

w

w

w

.M

n! = n = 1 × 2 × 3 × ... × n

Coeficiente Binómico
Concepto

Es un operador matemático que se utiliza para representar los coeficientes
que se obtienen al desarrollar la potencia de un binomio.

Notación

Un coeficiente binómico se representa (m ) que se lee: "coeficiente binómico
n
m sobre n".

Elementos

1) Indice superioro base.- es el número que se ha representado con "m"
y que tiene valor arbitrario.
2) Indice inferior u orden.- es el número entero y positivo, designado con
"n", que indica el total de factores que hay en el desarrollo.
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U N F V - C E P R E V I

ÁLGEBRA

Desarrollo general del Coeficiente Binomico
m(m − 1)(m − 2)...(m − n + 1)
n(n − 1)(n − 2)...1

(m) =
n

Ejemplo:
(12) =12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 792
5
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

Propiedades del Coeficiente Binomico
1) Si el índice es cero, el coeficiente vale uno.
m = 1
0 
 

2) Si el índice inferior es la unidad, el coeficiente es igual al índice superior.
m = m
1 
 

om

3) Suma de coeficientes binómicos:

a1

.c

 m  +  m  =  m+1
 n   n+1  n+1 

    

w

w

w.M

at

em

at

ic

4) Las propiedades siguiente se cumplen cuando los elementos son números
naturales, debiendo ser la base mayor o igual que el orden. Estos operadores también se les denomina números combinatorios y se les representa
por:
m m
Cn n
Cn = (m)

m!
a) Cm = (m) =
n
n
n! (m − n)!
m
m
b) CCm mCm−n ó (m) = (mmn)
=
n
n n = Cm−n
−
m m
c) Cm = (m) = 1
nm

m
d) Cm = (m) = 0 ; si m < n
n
n
n

Binomio de Newton
Concepto

Se dá este nombre a la potencia indicada de un binomio.
Ejemplo:

(a+b)5 ; (a–b)–2 ; (1+x)–1/3

U N F V - C E P R E V I

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ÁLGEBRA

Desarrollo del binomio (a+b)n

Regla práctica.- Un coeficiente cualquiera del desarrollo se obtiene multiplicando el coeficiente anterior al que deseamos calcular, por elexponente de
"a" y luego dividiendo entre el exponente de "b" aumentado en la unidad.
Ejemplo:
(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a+b)–2 = a–2 – 2a–3b + 3a–4b2 – 4a–5b3 + ...
Observación:
Si el exponente es entero negativo o fraccionario el desarrollo admite infinidad
de términos.

Término general del desarrollo de (a+b)n:

a1

.c

en donde: (k+1) es la posición del término.om

Tk +1 =  k  an−k bk
n
 

em

at

ic

Propiedades del desarrollo de (a+b)n , n ∈ Z+
.M

at

1. El número de términos que resultan es: n + 1

w

2. Los signos de los términos se definen del esquema:

w

w

(a+b)n : +, +, +, + , ... , +
(a–b)n : +, –, +, –, + ..., ±
Si n par : +, +, +, +, ..., +
Si n impar : –, –, –, ... , –

(–a–b)n : 

3. Lasuma de los coeficientes del desarrollo de:
(α a + b β)n es S = (α + β)n (en el particular a = b = 1) resulta S = 2n)

4. La suma de los exponentes del desarrollo de: (aα + bβ)n es:
Sexp . =

(α + β) n(n + 1)
2

5. La posición del término central o medio del desarrollo se calculará con las
relaciones:
a)
b)
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Si n par: n + 2
2
Si n impar: n + 1 ; n + 3
2
2

U N F V - C EP R E V I

ÁLGEBRA

PROBLEMAS

7. Dado el binomio (x + a)4.

1. Hallar el valor de “n”

(2n + 1)!(2n)!
= 99 (2n − 2)
(2n + 1)!− (2n)!



a) 5

b) 6

c) 7



4 4

a) 16x a

e) 3

(2x-1)!=120
b) 6

c) 7

d) 4

e) 3



b)
d)

4x 4 a 4
4x 3 a 3

8. En el desarrollo del binomio
(x5+x3) 10



3. Siendo:



Calcular el séptimo...