Calculo 2

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA GABRIEL RENE MORENO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGÍA


















Ing. MSc. Carlos Roberto Lazo Arteaga











Santa Cruz – Septiembre 2012



TABLA DE CONTENIDO
UNIDAD I 2
FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES 2
I.1. Funciones de dos Variables 2
EJERCICIOS: 3
PRACTICO Nº1 5
I.2. Curvas de nivel 6
EJERCICIOS 7
I.3.Funciones de tres o más Variables 8
I.4. Secciones Cónicas 8
I.4.1. Parábolas 9
EJERCICIO 9
I.4.2. Elipses 9
EJERCICIO 10
I.4.3. Hipérbolas 11
EJERCICIO 11
PRACTICO Nº2 12
I.5. Cilindros y superficies cuadráticas 13
I.5.1. Cilindros 13
EJERCICIO 13
I.5.2. Superficies cuadráticas 14
EJERCICIO 14
PRACTICO Nº3 17
I.6. Coordenadas Polares. 18
EJERCICIO 19
PRACTICO Nº4 21
UNIDAD II 30DERIVACIÓN PARCIAL 30
II.1. Derivadas Parciales 30
II.2. Derivación Implícita 31
EJERCICIOS 31
PRACTICO Nº7 33
II.3. Regla de la Cadena 35
EJERCICIO 36
PRACTICO Nº8 37
II.4. Aplicación de la regla de la cadena. 38
PRACTICO Nº9 39
II.5. Planos Tangentes 40
EJERCICIOS 40
PRACTICO Nº10 41








UNIDAD I
FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

I.1. Funciones de dos Variables
Definición.Según James Stewart (1), una función “f” de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto “D”, un número real único denotado por f(x,y). El conjunto “D” es el dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir, {f(x,y)/(x,y) D}.
Estas funciones se encuentran en un espacio de tres dimensiones.
Por Ejemplo, el área de untriángulo “A”, depende de la base “b” y la altura “h” del mismo, por lo que se puede afirmar que el área de un triángulo es función de las dos variables (b,h), es decir: A=f(b,h).
Para calcular el área de un triángulo, utilizamos la siguiente ecuación:
A=bh/2
Donde:
b = Base del triángulo
h = Altura del triángulo
En esta ecuación decimos que “A” es una función de b y h, y lo escribimos:

Otraforma que acostumbramos utilizar para representar una función de dos variables es:

para hacer explícito el valor tomado por f en un punto (x,y).
Debe entenderse que las variables “x” y “y” son variables independientes y que “z” es una variable dependiente.
James Stewart (1) afirma que: una función de dos variables es sólo una función cuyo dominio es un subconjunto de R2 y cuya imagen es unsubconjunto de R.
Otra forma de visualizar el comportamiento de una función de dos variables es considerar su gráfica:



“Si “f” es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de “f” es el conjunto de los puntos (x, y, z) de W tales que z=f(x, y) y (x, y) está en “D”.
Así como la gráfica de una función “f” de una variable es una curva C con ecuación y=f(x) la gráficade una función “f” de dos variables es una superficie “S” con ecuación z = f(x, y). Podemos visualizar la gráfica “S” de “f” como si se encontrara directamente arriba o abajo de su dominio “D” en el plano xy” (James Stewart (1)).
“Si una función “f” está dada por una fórmula y no se especifica su dominio, entonces el dominio de “f” se entiende que es el conjunto de todos los pares (x,y) para loscuales la expresión dada es un número real bien definido” (James Stewart (1)).
Para garantizar lo citado anteriormente, se deben cumplir las siguientes condiciones:
1.- No existe expresión numérica que se divida por cero, el denominador de una expresión numérica debe ser diferente de cero.
Si: Entonces:
2.- No existe raíz cuando el radicando es negativo y el índice es par.
Si: Entonces:3.- No existe logaritmo cuando el argumento es menor o igual que cero.
Si: Entonces:

EJERCICIOS:

a) Halle los dominios de las siguientes funciones y evalúe f(3,2).















b) Trace la gráfica de



















PRACTICO Nº1

Trace el dominio de las siguientes funciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13....