Calculo Diferencial

´ FACULTAD DE INFORMATICA ´ ANALISIS COMPLEJO

´ DPTO. MATEMATICA APLICADA 3er CURSO

Funciones trascendentes b´sicas a
1 Funci´n exponencial o

Para definir la funci´n exponencial compleja eztendremos en cuenta que dicha funci´n debe o o verificar para cualesquiera z1 , z2 ∈ C 1) ez1 ez2 = ez1 z2 . 2) 3) ez1 = ez1 −z2 , si z2 = 0. ez2 dez = ez para todo z ∈ C. dz

Definici´n 1.1. Se definela funci´n exponencial compleja para cada z = x + iy ∈ C mediante o o 1 la expresi´n o ez = ex (cosy + i sen y)

1.1

Propiedades de la funci´n exponencial o
(z) representa la parte real de z e1. |ez | = e (z) y arg(z) = (z) + 2kπ con k ∈ Z, donde (z) la parte imaginaria. 2. ez = 1 si y s´lo si z = 2kπi siendo k ∈ Z o

3. ez1 = ez2 si y s´lo si z1 = z2 + 2kπi, para todo k ∈ Z. Esdecir, la funci´n exponencial es o o peri´dica de periodo 2πi. o

1.2

Geometr´ de la funci´n exponencial ıa o

La funci´n exponencial compleja ez transforma: o 1. Para cada x0 ∈ R, el segmento {x0 +iy; y ∈ (−π, π]} en la circunferencia centrada en el origen y de radio ex0 . 2. Para cada y0 ∈ (−π, π], la recta {x + iy0 ; x ∈ R} en la semirrecta arg z = y0 . 3. Por la periodicidad, para cada α ∈R, la “banda” {x + iy; x ∈ R, y ∈ (α, α + 2π]} en C \ {0}. 4. El plano complejo C en C \ {0};
Otra alternativa para definir esta funci´n, as´ como otras de las funciones que se tratan, es medianteseries o ı n de potencias; en el caso de la exponencial se definir´ como ez = ∞ z . ıa n=0 n!
1

1

2

Funciones trigonom´tricas e

Definici´n 2.1. Para cada z ∈ C se definen las funcionestrigonom´tricas complejas seno y o e coseno mediante las expresiones sen z = eiz − e−iz 2i cos z = eiz + e−iz 2

2.1

Propiedades
y cos(−z) = cos z. d sen z = cos z dz d cos z = − sen z dz

1. sen(−z)= − sen z

a 2. Las funciones seno y coseno son enteras, verific´ndose que

e 3. Identidades trigonom´tricas (a) sen2 z + cos2 z = 1. (b) sen(z1 + z2 ) = sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2 ; de donde...