Calculo diferencial

Axiomas de Orden
Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de los naturales). Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.
Para establecer una relación de orden, es necesario introducir elsímbolo que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo que ya conocemos.
Se dirá que o sólo si es menor que . O dicho de otra forma, si es mayor que .
De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto tal que si y sólo si .
Se dan a continuación los Axiomas de Orden

O1.1 Si , entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones:; ; O1.2 Si y además , entonces .O1.3 Si , entonces para todo O1.4 Si y , entonces . |
Análisis axiomático
* El axioma (1.2) dice geométricamente que si está a la izquierda de y éste a su vez a la izquierda de , entonces debe estar a la izquierda de . Esta interpretación es bastante útil.
(R,+, ⋅ , ≤) es un cuerpo ordenado.

LEY DE TRICOTOMIA
En particular, en los Números Reales,además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada y en se cumple una y sólo una delas siguientes afirmaciones
 ;  ;
Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.

Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si , entonces es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que .

Relación de orden
Sea A un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida en A, entonces decimos que R es una relación de orden sicumple las siguientes propiedades:
1. Reflexividad: Todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir, .
2. Antisimetría: Si dos elementos de A se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,
3. Transitividad: Si un elemento de A está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con esteúltimo. Es decir,
Una relación de orden R sobre un conjunto A puede denotarse con el par ordenado .

INTERVALOS
Los intervalos numéricos en R son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados:

Intervalos acotados:

Intervalo abierto (a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidosambos. Se expresa: a<x<b.

Intervalo cerrado [a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a£x£b.

Intervalo abierto a la derecha [a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa a£x<b

Intervalo abierto a la izquierda (a,b]. Está formado por los números reales xcomprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa a<x£b

DESIGUALDADES MATEMATICAS
En matemáticas una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.
Propiedades
Las desigualdades estan gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedadestransitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad :
Para números reales arbitrarios a,b y c :
o Si (a > b) y (b > c); entonces (a > c)...