Calculo Diferencial

contexto practico1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden
Como todos sabéis se distinguen distintas clases de números:
Los números naturales 1,2,3,... . El conjunto de todos ellos se representa por N.
Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z.
Los números racionales que son cocientes de la forma p/q donde p ∈Z,q ∈N, cuyo conjunto
representamospor Q.
También conocéis otros números como √2, p, o el número e que no son números racionales
y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues
bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto
de los números reales y se representa por R.
Es claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Aunque los números que no son racionales puedenparecer un poco raros, nomerece la pena, al
menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente interesante
es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número √2 es que su cuadrado es igual a 2.
Pues bien, una de las cosasmás llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo
de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacarestas propiedades
básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pueden
hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x,y se escribe
x+y, representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las
siguientes.
P1 [Propiedades asociativas] (x+y)+z= x+(y+z) ; (xy)z = x(yz) para todos x,y, z en R.Universidad de Granada
Dpto. de AnálisisMatemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo – Ing. de Telecomunicación
Números reales. Propiedades algebraicas y de orden 3
P2 [Propiedades conmutativas] x+y = y+x ; xy = yx para todos x,y en R.
P3 [Elementos neutros] El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente sus
propiedades:
0+x = x ; 1x = x para todo x∈R.
P4 [Elementos opuesto einverso] Para cada número real x hay un número real llamado opuesto
de x, que representamos por −x, tal que x+(−x) = 0.
Para cada número real x distinto de 0, x , 0, hay un número real llamado inverso de x, que
representamos por x−1, tal que xx−1 = 1.
P5 [Propiedad distributiva] (x+y)z = xz+yz para todos x,y, z en R.
Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque sonmuy sencillas, apartir de ellas
pueden probarse cosas tan familiares como que 0x = 0, o que (−x)y = −(xy).
Pero los números tienen, además de las propiedades algebraicas, otras propiedades que
suelen llamarse propiedades de orden. Como todos sabemos, los números suelen representarse
como puntos de una recta en la que se fija un origen, el 0, de forma arbitraria. Los números que
hay a la derecha de 0, se llamanpositivos y el conjunto de todos ellos se representa por R+. Las
propiedades básicas del orden son las siguientes.
P6 [Ley de tricotomía] Para cada número real x se verifica que o bien es x = 0, o bien x es positivo,
o bien su opuesto −x es positivo.
P7 [Estabilidad de R+] La suma y el producto de números positivos es también un número
positivo.
Suele escribirse x−y en vez de x+(−y).También, supuesto y , 0, se escribe x/y o xy
en vez de
xy−1. Los opuestos de los números positivos, es decir los elementos del conjunto R= {−x : x ∈
R+}, se llaman números negativos. Nótese que el 0 no es positivo ni negativo.
Para x,y ∈ R escribimos xx (léase y esmayor que x) para indicar
que y−x ∈ R+, y escribimos x 6 y o y > x para indicar que y−x ∈ R+∪{0}. En adelante usaremos
las notaciones:R+
o = R+ ∪{0}, R−o = R− ∪{0} y R∗ = R\{0}.Nótese que si x∈R entonces −x∈R+.
1.1 Teorema (Reglas para trabajar con desigualdades). Sean x,y, z números reales.
1. x 6 y e y 6 z implican que x 6 z.
2. x 6 y e y 6 x implican que x = y.
3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones: x < y, x = y, o y < x.
4. x < y implica que x+z < y+z.
5. x < y , z > 0 implican que xz < yz.
6. x < y...