Calculo Diferencial

Introducción:
El índice de reprobación en los cursos de cálculo de los estudiantes de las carreras de economía, demografía, administración y actuaría es muy alto ya que se debe a diversas causas, que considerando sólo el lado del estudiante pueden ser: la mala preparación en el nivel medio superior, la falta de estudio de la materia, la falta de interés, el poco tiempo que le dedican asu estudio y la falta de asistencia a las clases.
Al considerar que los cursos de cálculo tradicionales influyen de manera importante en
el alto índice de reprobación de la materia, y dado que el enfoque común se da a través de temas de la física o de las matemáticas ( lo que es muy natural ya que fueron los problemas físicos, principalmente, los que dieron origen al cálculo), dicha motivaciónno es suficiente para los estudiantes de dichas carreras, pues consideran que el cálculo tiene poca aplicación a su disciplina. Es cierto que algunos profesores incluyen en su exposición algunos problemas adecuados para motivar a los estudiantes de las carreras socio-económicas pero, generalmente, no es suficiente ya que la inclusión de tales problemas a veces no es natural o resulta ser tardía ycuando se llega a estos problemas, el interés en los estudiantes por los cursos de cálculo ha
decaído.
El presente trabajo tiene por objeto que los estudiantes de las carreras socio-económicas encuentren una motivación más genuina, con base en problemas similares a los de la física que dieron origen al cálculo, pero con otro tipo de lenguaje, y a ejercicios que les ayuden a desarrollar yreafirmar los conceptos básicos del cálculo y, además, que los estudiantes de física y matemáticas también puedan tener un panorama más amplio en cuanto a la aplicación que se le puede dar al cálculo.







 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
Se darán ejemplos de distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, con aplicaciones a finanzas y economía, en los que sepueden aplicar algunos métodos de solución vistos en dicha materia como son los métodos de ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, exactas y lineales.

 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES.
 Interés compuesto: Si la tasa de interés es “i” capitalizable continuamente y S es el monto en cualquier tiempo (monto principal más el interés acumulado), entonces
dS = iSdt
al separar variables,
dS = idt
S
al integrar ambos lados de la ecuación anterior, se tiene que
Z Z
dS = idt
S
es decir,
log S = it+ c
porlo que,
S = ceit:
Si S = S0 cuando t = 0; entonces c = S0 (que representa el monto inicial), sustituyendo el valor de c en la expresión anterior, el monto total es:
S = S0eit:
 Utilidad neta: La relación entre la utilidad neta P(x) y el gasto en publicidad x es tal que la razón de cambio de la utilidad neta con respecto al gasto en publicidad, es proporcional a la diferencia de unaconstante a (que representa la utilidad máxima que se puede obtener) y la ganancia neta, multiplicada por una constante k que es la tasa de incremento de la utilidad neta con respecto al crecimiento del gasto en publicidad. Para obtener la relación entre la utilidad neta y el gasto en promoción si P(0) = P0 < a; se procede de la siguiente manera.

La ecuación que representa el caso anterior es
dP(x)= k(a ¡ P(x))
dx
al separar las variables, se obtiene
S = S0eit:





 Utilidad neta.
 La relación entre la utilidad neta P(x) y el gasto en publicidad x es tal que la razón de cambio de la utilidad neta con respecto al gasto en publicidad, es proporcional a la diferencia de una constante a (que representa la utilidad...