CALCULO INTEGRAL 1 ACTIDIDAD 2015

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CULIACÁN.

UNIDAD 1

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y SUMAS DE

RIEMANN

PROFESOR: LUIS ANTONIO ACHOY BUSTAMANTE

ALUMNO(A): JAZMÍN LIZZETTE ZEPEDA GONZÁLEZ.

AULA: O2

HORA: 18:00-19:00

CULIACÁN, SINALOA. 13 FEBRERO 2015

1) ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL CÁLCULO
El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz)
es la íntimarelación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos
diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema
de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas.
El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que
obtuvo el análisismatemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de
variaciones.
El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre
otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una
función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones,
utilizando de formaparalela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas.
Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de Bernoulli, quien escribió el primer curso
sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus
últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron
prácticamente su nivel actual.
El CálculoIntegral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las
ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal
formulación general creció inusualmente rápido.
Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J.
Bernoulli y después a Euler.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculoinfinitesimal, es una rama de las matemáticas en la
que se estudia el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la
matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de
regiones y sólidos de revolución.
2) EN QUE PIENSAS QUE TE PUEDE AYUDAR EL CÁLCULO EN TU DESARROLLO PROFESIONAL:
Aparte de volverme más analítica, para poderdesenvolverme ante los problemas que se me
avecinen en el ámbito laboral-profesional. Tanto social, tener noción de problemas matemáticos y
algebraicos y llevarlos a su solución.
3) CUAL FUE TU CALIFICACIÓN EN CALCULO DIFERENCIAL Y QUE MAESTRO TE IMPARTIÓ EL
CURSO.
Fue de 79. Y me impartió el curso. El profesor: Luis Antonio Achoy Bustamante
4) CUÁLES SON TUS EXPECTATIVAS DE ESTE CURSO:

Que mecomplementen las nociones que tengo para poder alcanzar un buen nivel de aprendizaje.
Y también me gustaría obtener un espacio para que nos ayuden con las dudas. E ir más preparados
al siguiente curso.

5) .- Desarrollar las siguientes sumatorias
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟏𝟎
2
a) ∑𝟏𝟎
𝒊=𝟏(𝟐𝒊 + 𝟏)2=∑𝒊=𝟏(4𝑖 + 𝟒𝒊 + 𝟏)= 4∑𝒊=𝟏 𝒊2+4∑𝒊=𝟏 𝒊+10 =
𝟏𝟎(𝟏𝟎+𝟏)(𝟐(𝟏𝟎)+𝟏
𝟏𝟎(𝟏𝟎+𝟏)
)+4( 𝟐 )+10
𝟔

𝟒(

𝟐𝟑𝟏𝟎
𝟏𝟏𝟎
)+4( 𝟐 )+10=
𝟔

=4(1540+220+10=1770
b) ∑𝟖𝒊=𝟏 𝟑(𝒊 − 𝟐)3= 3∑𝟖𝒊=𝟏(𝑖 3 − 𝟔𝒊𝟐 + 𝟏𝟐𝒊 + 𝟖)=
𝟖𝟐 (𝟖+𝟏)𝟐
𝟖(𝟖+𝟏)(𝟐(𝟖)+𝟏
𝟖(𝟖+𝟏)
)-𝟔(
)+12( 𝟐 )+64
𝟒
𝟔

𝟐

3∑𝟖𝒊=𝟏 𝑖 3 − 𝟔 ∑𝟖𝒊=𝟏 𝒊 + 𝟏𝟐 ∑𝟖𝒊=𝟏 𝒊 + ∑𝟖𝒊=𝟏 𝟖 =3(
3(

=

𝟔𝟒(𝟖𝟏)
𝟕𝟐(𝟏𝟕)
𝟕𝟐
)-6(
+12( )+64=
𝟒
𝟔
𝟐

3(1296)-6(204)+12(36)+64=
3888-1224+432+64=3160
6) usando la propiedad de la sumatoria y la fórmulas de los n-naturales determine el valor de las
siguientes expresiones cuando n tiende alinfinito.
𝟒𝒊𝟐 𝟐
𝟐
𝟖𝒊𝟐
𝒏
)(
)=∑
(
+
+
𝒊=𝟏
𝟐
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏𝟐
𝟖𝒊𝟐
𝟖
𝟖
𝟖 𝒏(𝒏+𝟏) 𝟖 𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏)
) =2+ 𝟐 ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊+ 𝟑 ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊𝟐 =2+ 𝟐 (
) 𝟑(
)
𝒏𝟑
𝒏
𝒏
𝒏
𝟐
𝒏
𝟔
𝟐𝒊

𝟐

𝒂) ∑𝒏𝒊=𝟏(𝟏 + 𝒏 ) 2𝒏= ∑𝒏𝒊=𝟏(𝟏 +

n→ ∞
𝟖 𝒏𝟐

𝒏

𝒊

𝟖 𝟐𝒏𝟑
( 𝟔
𝒏𝟑

+

𝟑𝒏𝟐
𝟔

𝟏

b)∑𝒏𝒊=𝟏(𝟐 + 𝒏) 3𝒏 =∑𝒏𝒊=𝟏(𝟖 +
𝟖
𝒏

+

n→ ∞

2+𝒏𝟐( 𝟐 + 𝟐) +

∑𝒏𝒊=𝟏 +

𝟒𝒊
𝒏

𝟏𝟐 𝒏
𝟔
∑ 𝒊+ ∑𝒏 𝒊𝟐
𝒏𝟐 𝒊=𝟏 𝒏𝟐 𝒊=𝟏

𝒏

𝟏𝟔 𝟐𝟒 𝟖 𝟏𝟔
+ + =
𝟔 𝟔𝒏 𝟔𝒏𝟐 𝟔

+ 𝟔) =

𝟔𝒊𝟐
𝒏𝟐

𝒊𝟑

𝟏𝟐𝒊
𝒏

+

−

𝟏 𝒏
∑...