Calculo Integral

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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Cálculo 2 Para Ingeniería Cristián Burgos G.

Funciones Logaritmo, Exponencial y Hiperbólicas.

Propiedades de los logaritmos:

1.2. 3. 4.
Problema 1.

logc a + logc b = logc (ab) logc a − logc b = logc a b logc ab = b logc a logc a = logb a log c
b

5. 6. 7. 8.

x = exp (ln x) = ln (exp(x)) ∀x ∈ R , exp(x) ≥ 1 + x 1 ∀x <1 , exp(x) ≤ 1−x ∀x ∈]0, ∞[ , ln x ≤ x − 1 y 1 −

1 x

≤ ln x

Use las propiedades de los logaritmos para reducir las siguientes expresiones:
sin x 5

1. ln(sin x) − ln

2. ln(sec θ) +ln(cos θ) 3. ln(1 + cos x) + ln(1 − cos x) − 2 ln(sin x)
Problema 2.

1. Demuestre que si u ∈ [0, 1] , entonces

1 1 ≤ 1+u 1 + u2

2. Escribir las funciones arctan x y ln(1 + x) como integralessobre [0, x] 3. Deduzca que si x ∈ [0, 1], entonces ln(1 + x) ≤ arctan x
Problema 3.

Calcule los siguientes límites

1. lim x x
1

x→∞

2. lim

x→0

ax + bx 2
1

1 x

3. lim+ xln(sinh x)
x→0
Problema 4.

Dada la función g(t) = e−t , se dene
F (x) = ´x
−100

2

g(t)dt , x ≥ −100

1. Calcule F (x) , F (x) , F (x). Observe que todas ellas pueden escribirse como elproducto de un polinomio y de una función g 2. Use inducción para demostrar que la derivada de orden n de F puede ser escrita como:
F (n) (x) = pn−1 (x)g(x)
Problema 5.

Use derivación logarítmicapara calcular

dy en los siguientes casos: dx

1. y = xx

2

2. y = ln(1−sinh x) (1 + tan x) 3. y =
1 + cosh x 1 − exp(x2 )

2

Problema 6.

Dada la función y = (ln x)x

1. Determine sudominio y analice la posibilidad de incluir el valor 1 en el dominio de la función tal que ésta sea contínua en x = 1. 2. Calcule
Problema 7.

dy dx

y pruebe que si x > e , entonces la funciónes estríctamente creciente.
1 ln x

Analice completamente la función f (x) = exp

indicando dominio, paridad, asíntotas , crecimiento,

concavidad, gráco y recorrido. Problema 8. Use...