Calculo integral

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO
´
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
´
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

MATEMATICA II

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE– PERU
2015

Dedicatoria
Para mis padres, Martha y El´ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela
y para los m´
as grandes tesoros de mi
vida, mis hijas Alessandra Anghely
y Stefany Grace.

Introducci´
on
Antesde abocarnos al estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos
una peque˜
na semblanza hist´
orica de la relaci´
on entre el c´
alculo diferencial y el integral.
Durante la segunda mitad del siglo XV II, Newton y Leibniz dieron un paso decisivo
en la matem´
atica de las magnitudes variables, al sentar las bases del c´
alculo diferencial e
integral. “Este fue el verdaderocomienzo del an´
alisis, puesto que el objeto de este c´
alculo
son las propiedades de las funciones mismas, distinto del objeto de la geometr´ıa anal´ıtica que
son las figuras geom´etricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz fue completar esa
cantidad inmensa de trabajo que hab´ıan desarrollado hasta entonces muchos matem´
aticos y
que se extend´ıa hasta los m´etodos de determinaci´
on de ´areas y vol´
umenes empleados por los
antiguos griegos”.
Aqu´ı solo queremos llamar la atenci´
on acerca de los or´ıgenes de este c´
alculo, que fueron
principalmente los nuevos problemas de la mec´
anica y los viejos problemas de la geometr´ıa,
consistentes estos u
´ltimos en la determinaci´
on de tangentes a una curva dada y el c´
alculo de
areas y vol´
´
umenes. Estos problemas geom´etricoshab´ıan sido ya estudiados por los antiguos
(basta mencionar a Arqu´ımedes), y tambi´en por Kepler, Cavalieri, y otros, a principios del
siglo XV II. Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relaci´
on entre estos
dos tipos de problemas y la formulaci´
on de un m´etodo general para resolverlos; tal fue la obra
de Newton y Leibniz.
Esta relaci´
on, que permiti´
o conectar losproblemas de la mec´
anica con los de la geometr´ıa,
fue descubierta gracias a la posibilidad (brindada por el m´etodo de coordenadas) de hacer
una representaci´
on gr´
afica de la dependencia de una variable respecto a la otra, o, en otras
palabras, de una funci´
on. Con la ayuda de esta representaci´
on gr´
afica es f´
acil formular la
relaci´
on antes mencionada entre los problemas de la mec´
anica yla geometr´ıa (relaci´
on que
fue el origen del c´
alculo diferencial e integral) y describir as´ı el contenido general de estos dos
tipos de c´
alculo.
El c´
alculo diferencial es, b´
asicamente, un m´etodo para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve
por “derivaci´
on” y es completamente equivalente al problemade dibujar una tangente a la
curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el
instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t.
El c´
alculo integral es en esencia un m´etodo para encontrar la distancia recorrida cuando se
i

ii

Matem´
atica II

Walter Arriaga D.

conoce la velocidad, y en general, de encontrarel resultado total de la acci´
on de una magnitud
variable. Evidentemente, este problema es rec´ıproco del problema de c´
alculo diferencial (el
problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por “integraci´
on”. Resulta que el problema
de la integraci´
on es en todo equivalente al de encontrar el a´rea bajo la curva que representa
la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. Ladistancia recorrida en el intervalo de
tiempo t1 a t2 es igual al ´
area bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gr´
afica a
los valores t1 a t2 .
Haciendo abstracci´
on de la formulaci´
on mec´
anica de los problemas y operando con funciones en vez de dependencias de distancia o velocidad respecto al tiempo se obtienen los
problemas de c´
alculo diferencial e integral en forma...