Calculo Vectorial Marsden

CALCULO VECTORIAL
JERROLD E. MARSDEN
CORNELL UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY

ANTHONY J. TROMBA
UNIVERSITY OF CALIFORNIA, SANTA CRUZ

Versión en español de

Manuel López Mateos

Universidad Nacional Autónoma de

México

Con la colaboración de
Sergio Adarve D.
U n i v e r s i d a d d e los Andes
Bogotá, Colombia
A

vv

ADDISON-WESLEYIBEROAMEKICAP

L

Argentina 0 Brasil o Chile oColombia o Ecuador o Ejpaña
Estados Unidos 0 México o Perú 0 Puerto Rico o Venezuela

Versión en espaíiol de l a obra titulada Vector calculus, Third edition, de Jerrold
E. Marsden y Anthony J. Tromba, publicada originalmente en inglés por W. H.
Freeman and Company, Nueva York @ 1976, 1981 y 1988 por W. H. Freeman
and Company
Esta edición en español es la única autorizada.

@ 1991 por A D D I S O N- W E S L E Y I B E R O A M E R I C A N A , S . A .
Wilmington, Delaware, E.U.A.
Impreso en los Estados Unidos de América. Printed in U.S.A.

ISBN 0-201-62935-6
6 7 X 9 10 11 12 13 14-CRS-00 99 9X 97 96

L a política es para el momento.
Una ecuación es para la eternidad.

A. EINSTEIN

Algunos trucos de. cálculo son bastante fáciles,
otros son muy difíciles. Los tontos
que escriben los libros dematemáticas
avanzadas pocas veces se toman la molestia de
mostrar cuán fáciles son los cálculos fáciles.

SILVANUS
P. THOMPSON
Calculus Made Easy, Macmillan (1910)

ÍNDICE GENERAL

PREFACIO

ix

~~

1

LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 1
1.1

1.3 El productocruz

30

21

1.4 Coordenadas esféricas

y cilíndricas 47

1.5 Espacioeuclidianon-dimensional
Ejercicios de repaso del capítulo 1

2

1Vectoresenelespaciotridimensional

1.2 El producto interno

57
68

DIFERENCIACI~N 75
2.1 Geometría de las funciones con valores reales
2.2Limites

y continuidad

2.3
Diferenciación

118

95

2.4 Propiedades de la derivada
2.5Gradientes

13 1

y derivadasdireccionales

2.6 Derivadasparcialesiteradas

157

145

*2.7 Algunos teoremas técnicos de diferenciación
Ejercicios de repaso del capltulo 2

76180

168

iNDlCE GENERAL

vi

FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES

3

3.1 Trayectorias y velocidad
3.2 Longituddearco
201

189

3.3 Campos vectoriales 2 11
3.4 Divergencia y rotacional de un campo vectorial
3.5 Cálculo diferencial vectorial 23 1

DERIVADAS DE
ORDEN
SUPERIOR;
MÁXIMOS Y MÍNIMOS 241

4

4.1 Teorema de Taylor
4.2
4.3
*4.4
4.5

242

Extremos de funciones con valores reales

~~

248Extremos restringidosy multiplicadores de Lagrange
Teorema de la función implícita

280

~

~

298

~~

303

INTEGRALES
DOBLES

5.1 Introducción 303
5.2 Integral doble sobre un rectángulo 314
5.3 Integral doble sobre regiones más generales
5.4 Cambio en el orden de integración 336

*5.5 Algunos teoremas técnicos de integración
Ejercicios de repaso del capitulo 5

329

342

352

INTEGRALTRIPLE,FóRMULADE
CAMBIODE VARIABLES Y APLICACIONES
6.1
6.2
6.3
6.4
*6.5

Integral triple

265

291

Algunasaplicaciones

Ejercicios de repaso del capítulo 4

6

220

238

Ejercicios de repaso del capltulo 3

5

189

355

Geometría de las funciones de R2 a R2
Teorema delcgmbio de variables

371

364

Aplicaciones de las integrales dobles y triples
Integrales impropias

401

Ejercicios de repaso del capítulo 6408

389

355

iNDlCE GENERAL

7

Vii

INTEGRALESSOBRETRAYECTORIASYSUPERFICIES
7.1

La integral de trayectoria

7.2 Integrales delínea

419

414

7.3 Superficies parametrizadas

449

7.4 Área de una superficie

413

440
463
472

7.5 Integrales de funciones escalares sobre superficies
7.6 Integrales de superficie de funciones vectoriales
Ejercicios de repaso del capítulo 7

8

TEOREMASINTEGRALES8.1

486

DEL ANÁLISIS VECTORIAL

490
504
Camposconservativos
517
Teorema deGauss
528

490

Teorema deGreen

8.2 Teorema deStokes
8.3
8.4

*8.5 Aplicaciones a la flsica y ecuaciones diferenciales
*8.6 Formasdiferenciales

566

Ejercicios de repaso del capítulo 8

544

582

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CON N U M E R A C I ~ NIMPAR
TABLAS

647

ÍNDICEDEMATERIAS

655

585

PREFACIO

Este texto se...