Calculo Volumen

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TALLER III CALCULO INTEGRAL |
VOLUMEN, LONGITUD DE ARCO, ÁREA SUPERFICIAL E INTEGRALES IMPROPIAS. |
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AMAYA BAUTISTA KEVIN COD. 2009216002 DIAZ MARTINEZ SANDRA COD. 2009216030 PERTUZ DE LA HOZ PAOLA COD. 2009216085 |
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ESP. ERIC HERNANDEZ SASTOQUE UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA |
27/11/2011 |
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VOLUMEN, LONGITUD DE ARCO, ÁREA SUPERFICIALE INTEGRALES IMPROPIAS
1. Se necesita diseñar una sartén para comida china que tendrá la forma de un tazón semiesférico con asas. Un poco de experimentación en casa te convence de que puedes lograr uno con capacidad de 3L si lo haces con 9 cm de profundidad y con un radio de 16 cm. Para estar seguro, te imaginas la sartén como un sólido de revolución, y calculas su volumen mediante laintegral definida. ¿Qué volumen obtienes realmente, redondeando al centímetro cúbico más cercano? Tu compañía decide lanzar una versión de lujo de la exitosa sartén china. Se piensa cubrir el interior con esmalte blanco y el exterior con esmalte azul. Cada esmalte se aplicará en una capa de 0.5mm de espesor antes de hornearlo. El departamento de manufactura desea saber cuánto esmalte debe tenerdisponible para una producción de 5000 sartenes. ¿qué le informarás?

Solución:
X2+y2=162
X2+y2=162

a) Al girar la región acotada por la gráfica de la función f(x)=X2+y2-162 alrededor de x=0 se obtiene la sartén china
El volumen del disco que se forma al girar la región es
dVy=πr2h
Donde
r= f(y)= x= (162-y2)1/2 Λ h=dy
Luego
dVy=π (162-y2)1/22dy
Límites de integración y=-7 Λ y=-16Vy=-16-7π(256-y2)dy
Vy=π(256y-y33)-7-16
Luego el volumen del tazón chino es
Vy=π256-7-(-73)3-256-16+-1633
Vy=1053π Unidades cuadradas
Es decir, 3.3L
Lo cual comprueba que una sartén con esas dimensiones si logra una capacidad de 3 L.
b) Para saber cuántos litros de pintura de cada color se necesitan hallamos primero el área superficial.
El diferencial del área superficial después de larotación es
dS=2πryds
Donde
ry=x=256-y2
ds=1+dxdy2dy
Sabemos que x2-y2=162
Derivando con respecto a y obtenemos
2xdxdy-2y=0
xdxdy=y
dxdy=yx
Pero x=256-y2
Luego
dxdy=y256-y2

Reemplazando en ds:
ds=1+y256-y22dy
ds=1+y2256-y2dy
ds= 256256-y2dy
El área superficial de la figura S es:
S=-16-72π256-y2256256-y2dy
S=2π-16-7256dy
S=32π-16-7dy
S=32πy-7-16
S=π32-7-32(-16)S=288π=904.7 unidades cuadaradas
Para pintar una sartén se necesita un volumen de pintura de:
Vp=área superficial ×el espesor de la capa
Vp=288 π×0.05=45.2 unidades cúbicas
Como se requieren hacer 5000 sartenes el volumen total de pintura sería:
Vt=45.2×5000=226194.6 cm3 es decir 226.2 litros de cada color.
2. Determine el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor dela recta x=-4, la región acotada por las gráficas x=y-y2 y x=y2-3

Solución:
Hallo los puntos de intersección entre x=y-y2 Λ x=y2-3

y-y2=y2-3
0=2y2-3-y
y=-b±b2-4ac2a
y=1±1+244
y=1±54
y=32 Λ y=-1
Cuando y=32 → x=-34
Cuando y=-1 → x=-2

Hallo el vértice para x=y-y2
f´y=1-2y.
f´y=0
1-2y=0
y=12
Cuando y=12 → x=14 ; V(1/4,1/2)

Hallo el vértice para x=y2-3
f´y=2y
f´y=0
y=0Cuando y=0 → x=-3 ; V(-3,0)

Al girar la región alrededor de x=-4 se forma una arandela cuyo volumen es
dVy=π(Ry)2-(r(y))2dy
Donde
Ry=y-y2--4= y-y2+4=y+4-y2
ry=y2-3--4=y2+1
Luego
dVy=π(y+4-y2)2-(y2+1)2dy
dVy=π(y+4)2-2y2y+4+y4-y4-2y2-1dy
dVy=πy2+8y+16-2y3-8y2-2y2-1dy
dVy=π-2y3-9y2+8y+15dy

El volumen del sólido es:
V=-132π-2y3-9y2+8y+15dy
V=π-y42-3y3+4y2+15y32-1V=π-(32)42-3(32)3+4(32)2+1532--(-1)44-3(-1)3+4(-1)2+15(-1)32-1
V=30.34π unidades cúbicas

3) Solución
La grafica de la boya metálica antes de revolucionar seria: grafica 2,1
Para demostrar el volumen de la boya metálica, la dividimos en dos conos de diferentes alturas, pero con el mismo radio.
h1
h1

r x

-h2
Entonces...