calculo

ÁLGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES

Espacio vectorial real.
Es un conjunto V no vacío cuyos elementos reciben el nombre de vectores dotado de dos operaciones:
1ª.- Una interna llamada suma que cumple las siguientes propiedades:
I. Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)
II. Conmutativa: u + v = v + u
III. Elemento neutro: Hay un elemento 0 en V tal que u + 0 = u
IV. Elemento opuesto:Cada elemento u tiene su elemento opuesto –u tal que u + (-u) = 0
, es decir, (V, +) es un grupo conmutativo.
2ª Una operación externa llamada producto de números reales por vectores que asocia a cada número real α y a cada vector u el vector αu y que verifica las siguientes propiedades:
I. Distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β).u = αu + βu
II. Distributiva respecto a la sumade vectores: α.(u + v) = αu +αv
III. Asociativa para escalares: α.(βu)= (αβ)u
IV. Elemento neutro: 1.u = u
A los números reales se les llama escalares.
Por cumplir las propiedades mencionadas diremos que la terna (V, +, ·) es un espacio vectorial.

Ejemplos:
En el conjunto R2 definimos las operaciones siguientes:
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 +y2)
λ.(x1, x2) = (λx1, λx2)
puedecomprobarse que se verifican todas las propiedades enunciadas por lo que la terna (R2, +, ·) es un espacio vectorial real.
Igualmente ocurre si consideramos R3 = {(x1, x2, x3); x1, x2, x3εR} con las operaciones:
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 +y2, x3 + y3)
λ.(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, λx3)
En general, el conjunto Rn = {(x1, x2, ......., xn); x1, x2, .......,xnεR} con las operacioneshabituales definidas en los ejemplos de antes es un espacio vectorial.

Son también espacios vectoriales:
El conjunto de todas las funciones polinómicas con las operaciones
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(λ.f)(x) = λ.f(x)
El conjunto de los números complejos.
El conjunto de los vectores libres del plano o del espacio.
etc.

Subespacio vectorial.
Dado un espacio vectorial V, un subconjunto S,es un subespacio vectorial de V cuando es espacio vectorial respecto de las operaciones definidas en V.
Para comprobar si un subconjunto es subespacio vectorial, no es necesario comprobar las ocho propiedades fundamentales. El siguiente teorema sirve para caracterizar los subespacios vectoriales:
Un subconjunto S es un subespacio vectorial de V si se verifican estas dos propiedades:
1ª Si u yv son elementos de S entonces u+v ε S
2ª Si λ ε R y u ε S entonces λu ε S

Combinaciones lineales.
Consideremos un espacio vectorial V y sea S={u1, u2, ......un} un conjunto de vectores de V. Se llama combinación lineal de estos al vector x obtenido de la siguiente forma:
x = α1u1 + α2u2 + ..............+ αnun. donde α1, α2, ....... αn son números reales.

Ejercicio:
Sean losvectores u = (-2, 1); v = (0, 5) y w = (7, -3) vectores de R2. Forma combinaciones lineales con ellos.

Solución:
Haremos 2 combinaciones lineales de estos vectores eligiendo números reales cualesquiera, por ejemplo,
x = u – v + 2w = (-2, 1) – (0, 5) + 2(7, -3) = (12, -10)

y = -5u +0v +2w = -5(-2, 1) + 0(0, 5) +2(7, -3) = (24, -11)

El conjunto formado por todas las combinacioneslineales de u1, u2, .......un se representa por o bien por y es un subespacio vectorial de V. Se le llama subespacio engendrado por u1, u2, ......un y el conjunto {u1, u2, ......un} es un sistema de generadores de dicho subespacio.

Ejemplo: Si consideramos los vectores de R3 u1 = (1, -2, 1); u2 = (1, 2, 3), cualquier vector
x = (x1, x2, x3) de cumplirá la siguiente relación:
(x1,x2, x3) = α (1, -2, 1)+ β(1, 2, 3), y de ahí resulta:

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones paramétricas del subespacio.

Ejemplo: Hallar el espacio generado por los vectores u1 = (1, 1, 0) y u2 = (1, 0, 1).

Espacio generado: =
x = (x1, x2, x3) = α (1, 1, 0)+ β(1, 0, 1)
(x1, x2, x3) = (α+ β, α, β)

x1 =x2+ x3
El espacio generado por u1 y u2 es


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