Calculo

Unidad 3
derivadas y métodos de
derivaCión

Objetivos

Al inalizar la unidad, el alumno:
• Identificará cuándo una función es derivable y cuándo no.
• Utilizará el método de derivación adecuado a la función que se trate.
• Resolverá ejercicios por medio de derivadas que involucren funciones
algebraicas, compuestas o trascendentes.
• Calculará derivadas de orden superior.Cálculo diferencial e integral 79

Introducción

U

na de las metas fundamentales de este capítulo es entender el significado
matemático de curva suave y continua; es decir, sin cambios bruscos de
dirección. Las curvas de esta naturaleza se caracterizan por generar rectas
tangentes únicas en cada uno de los puntos que las conforman, empleando los límites
para calcular las pendientes de dichasrectas tangentes. En diversos problemas físicos
estas pendientes se interpretan como razones de cambio instantáneo, a saber, la
velocidad y la aceleración.

3.1. Derivada de una función en un punto
El problema de la tangente a una curva es determinar la pendiente de la recta
tangente en un punto (x, f (x)) de dicha curva. En esta unidad estudiaremos este
problema con todo detalle. Paranuestro estudio requerimos del concepto de
derivada. Con la finalidad de entender este concepto iniciaremos formulando su
definición, para luego plantear, de forma explícita, su interpretación geométrica
y física, así como el entendimiento de la formulación adecuada para obtener las
derivadas de diferentes funciones. Concluiremos con el estudio de las derivadas de
orden superior.

Definición.Decimos que una función f(x) es derivable en un punto si existe el
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆y
= lim
= f '(x) y se le llama derivada de la función
limite lim
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆x
y = f(x)

Existen diferentes notaciones para designar la derivada de la función y con
respecto a x, por ejemplo:

f '( x), f x , y',

dy
, Dx y.
dx

Además existe la notación de Newton para cuando la funcióny ó x se deriva con
respecto a la variable del tiempo:
dy
= y
dt

y

dx
= x
dt

80 Unidad 3

Ejemplo 1
Obtén la derivada de la función f (x) = 7x – 5.
Solución
Cuando el valor de la variable x es igual a (x+∆x), se tiene que:

f (x + ∆x) = 7 (x+∆x) – 5 = 7x + 7∆x –5; como f (x) = 7x – 5.

Entonces, dado que ∆y= f (x+∆x) –f (x), se tiene que:

∆y = 7x + 7∆x –5 – (7x – 5)= 7∆x

Ahora bien

∆y 7 ∆x
=
=7
∆x ∆x

Por consiguiente:
f '( x) = lim

∆x → 0

f ( x + ∆x) − f ( x)
∆y
= lim
= lim 7 = 7
0
∆
x
→
∆x
∆x ∆x →0

Así que f '( x) = 7 para todos los números reales x.
Por lo tanto, f (x) = 7x – 5 es derivable y su derivada es igual a 7.

Ejemplo 2
Calcula la derivada de la función f(x) = x2.
a) En un punto cualquiera x
b) En el punto x =4
Solución
a) Cuando el valor del argumento x es igual a (x+∆x), se tiene que:
f(x + ∆x) = (x+ ∆x)2 = x2 + 2 x∆x + (∆x)2; como f (x) = x2.

Entonces ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) es:

∆y = x 2 + 2 x∆x + (∆x) 2 − x 2 = 2 x∆x + (∆x) 2

Cálculo diferencial e integral 81
∆y 2 x∆x + (∆x) 2
=
= 2 x + ∆x
∆x
∆x

Ahora bien:

Por consiguiente:
f '( x) = lim

∆x → 0

∆y
= lim (2 x + ∆x)= 2 x
∆x ∆x →0

Así que f '( x) = 2x en un punto cualquiera.
b) Por lo tanto, para x = 4 obtenemos:
f ' (4) = 2 · 4 = 8.

Ejemplo 3
Halla la derivada de la función y =

1
x

Solución
Como en los dos ejemplos anteriores, tendremos que:
1
, lo cual implica que:
x + ∆x

∆y =

1
1
−
x + ∆x x
x − x − ∆x
∆x
=−
=
x( x + ∆x)
x( x + ∆x)

Ahora bien:

∆y
1
=−
∆x
x( x +∆x)

Por lo que: y ' = lim

∆x → 0

Así que: y ' = −

1
x2



1
1
∆y
=− 2
= lim  −

0
∆
→
x
x
∆x
 x( x + ∆x) 

82 Unidad 3
De los ejemplos anteriores se observa que para encontrar la derivada de una
función dada y = f (x), con base en la definición general de derivada, es necesario:
1. Dar al argumento x un incremento ∆x y calcular el valor incrementado de...