Calculo

Universidad de las Am´ricas e C´lculo en Varias Variables a Gu´ No 3. ıa

Derivada direccional, gradientes y planos tangentes. 1. Derivada Direccional
1. Calcular laderivada direccional en el punto P y en la direcci´n de v : o √ a) f (x, y) = 3x − 4xy + 5y, P (1, 2), v = 1 (ˆ + 3ˆ)  2 ı b) f (x, y) = xy, P (2, 3), v = ˆ + ˆ ı  2 + y 2 ,P (3, 4), v = 3ˆ − 4ˆ c) g(x, y) = x ı  x sen(y), P (0, 0), v = −ˆ d ) h(x, y) = e ı e) f (x, y, z) = xy + yz + xz, P (1, 1, 1), v = 2ˆ + ˆ − k ı  ˆ f ) h(x, y, z) = xarctg(yz), P (4, 1, 1), v = (1, 2, −1) 2. Calcular el gradiente de la funci´n y el valor m´ximo de la derivada o a direccional en el punto indicado: a) h(x, y) = x tg(y), (2, π) 4 b) g(x, y) = ln c) f (x, y, z) = d) w =
3

x2 + y 2 , (1, 2)

x2 + y 2 + z 2 , (1, 4, 2) 1 , (0, 0, 0) 2 − y2 − z2 1−x

2.

Gradientes y Planos Tangentes

3.Suponga que sobre una cierta regi´n del espacio, el potencial el´ctrico o e 2 − 3xy + xyz V est´ dado por la funci´n V (x, y, z) = 5x a o a) Determine la raz´n de cambiodel potencial en P (3, 4, 5) en la o direcci´n del vector v = i + j − k o b) En que direcci´n cambia con mayor velocidad V en P ? o c) ¿Cu´l es la raz´n m´xima de cambio en P? a o a 4. Hallar una ecuaci´n para el plano tangente a la superficie en el punto o indicado: 1

a) g(x, y) = x2 − y 2 ; (5, 4, 9) d ) x2 + 4y 2 + z 2 = 36; (2, −2, 4) πb) z = ex (sen(y) + 1); (0, 2 , 2) e) xy 2 + 3x − z 2 = 4; (2, 1, −2) c) h(x, y) = ln x2 + y 2 ; (3, 4, ln(5))

5. Hallar una ecuaci´n para el plano tangente y ecuacionessim´tricas de o e la recta normal a la superficie en el punto indicado: a) x2 + y 2 + z = 9; (1, 2, 4) b) xy − z = 0; (−2, −3, 6) c) z = arctg y π ; (1, 1, ) x 4

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