Calculo

* INTEGRALES MULTIPLES
La doble integral de una función positiva  de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si  elresultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

* 3.1 INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS CARTESIANAS
Sea F una región de área A del plano “xy”, F incluye su frontera (Región Cerrada).
Subdividimos al plano “xy” en rectángulos medianterectas paralelas a los ejes de coordenadas (figura 1).
Partiendo de algún lugar conveniente (tal como el extremo superior izquierdo de F), numeramos sistemáticamente todos los rectángulos que están dentro de F.
Supongamos que hay “n” de tales rectángulos y los designamos con r1, r2,....rn.

Utilizamos los símbolos A(r1), A(r2),...., A(rn) para las áreas de estos rectángulos.
El conjunto de los nrectángulos {r1, r2,...., rn} se llama una SUBDIVISION de F.

La Norma de la subdivisión que generalmente se indica con , es la longitud de la diagonal del mayor rectángulo de la subdivisión .
Supongamos que z = f(x,y) es una función definida para todo (x,y) de la región F.

La definición para la INTEGRAL DOBLE de f SOBRE LA REGION F es análoga a la definición de integrales parafunciones de una variable. Elegimos un punto arbitrario en cada uno de los rectángulos de la subdivisión , designando las coordenadas del punto en el rectángulo ri con (i,,i). Ahora formamos la suma: f(1, 1). A(r1) + f(2, 2). A(r2) + ...... + f(n, n). A(rn)
en forma general (1)

Esta suma es una aproximación a la integral doble que definiremos; y se denomina “SUMA INTEGRAL”.

Las sumas talescomo (1) pueden formarse para subdivisiones con cualquier Norma positiva y con el iésimo punto (i, i) elegido en forma arbitraria en el rectángulo ri.

* 3.2 IRTERPRETACION GEOMETRICA Y PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE
TEOREMA:
* Si c es un número y f es integrable sobre una región cerrada F, entonces c.f es integrable y :
F c.f(x,y).dA = c. F f(x,y).dA
TEOREMA
* Si f y g sonintegrables sobre una región cerrada F, entonces:
F [f(x,y) + g(x,y)].dA = F f(x,y).dA + F g(x,y).dA
El resultado de este teorema se puede extender a cualquier número finito de funciones integrables.
Las demostraciones de los teoremas anteriores resultan directamente de la definición.
TEOREMA
* Supongamos que f es integrable sobre una región cerrada F y m f(x,y) M (x,y) F entoncessi A(F) designa el área de la región F, tenemos: m . A(F) F f(x,y).dA M . A(F)
TEOREMA
* Si f y g son integrables sobre F y f(x,y) g(x,y) (x,y) F, entonces
F f(x,y).dA F g(x,y).dA
TEOREMA
* Si se hace una partición de la región cerrada F en las regiones F1 y F2; es decir F1 F2 = 0 y F1 F2 = F y si f(x,y) es continua en F se tiene: F f(x,y).dA = F1f(x,y).dA +F2f(x,y).dA
* 3.3 DEFINICION ADECUADA DE REGIONES
Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas.
Esta situación es más complicada que la que hemos visto.

Consideremos una región F (ver figuras) donde la frontera está formada por las rectas x = a, x = b, y = p(x), y = q (x) con p(x) < q(x) para a x b. Definimos donde primero integramos (para x fijo)desde la curva inferior hasta la superior, es decir a lo largo de un segmento típico. Luego integramos con respecto a x desde a hasta b. Con mayor generalidad se puede definir las integrales iteradas sobre una región F, integrando primero respecto de y tenemos integrando respecto de x será

EJEMPLO
Dada la función f(x,y) = x.y la región triangular F limitada por las rectas y = 0, y =...