Calculoo Vectorial

CÁLCULO VECTORIAL
EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Graficar los siguientes campos escalares:
a) f: R2 R
xy f(x,y)= sen x

b) g: R2 R
xy g(x,y)= xy

c) h: R2 R
xy h(x,y)= y3

d) l: R2 R
xy l(x,y)= x2 + 3y2

e) w: R2 R
xy w(x,y)= -x-y

f) k: R2 R
xy k(x,y)= x2+xy+y2

2. Construir los conjuntos de nivel de los siguientescampos escalares
a) f: R3 R
xyz f(x,y,z)= x + y + z para c=1, -1 ,0

b) g: R2 R
xy g(x,y)= x2+y2 para c= -2,2,0

c) h: R3 R
xyz h(x,y,z)= x2 + y2 – z2 para c= -2, 2 ,0

d) l: R3 R
xyz l(x,y,z)= 4x2 + 9y2 + z2 para c= -1 , 4, 0

3. Determinar si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, ni abiertos, ni cerrados
a) A= { (x,y) R2 /2<x<3 , 1<y<5 }
b) B= { (x,y) R2 / 2<x≤3 , 0<y<4 }
c) C= { (x,y) R2 / 1<x<5 , y<x2 }
d) D= { (x,y,z) R3 / x2+y2+z2 < 9 }
e) E= { (x,y,z) R3 / x2+6y2+3z2 ≤ 9}
f) F= { (x,y,z) R3 / -x-y <2 }

4. Calcular los siguiente limites:
a) lim(x,y)→(2,4)(x2+y2)
b) lim(x,y)→(0,0)(3+exy)
c)lim(x,y)→(1,1)sen(x+y)

5. En cada ejemplo, determine el conjunto de puntos (x,y) en los que f es continua
a) f(x,y) = tg(x2/y)
b) f(x,y) = ln(x4+y4)
c) f(x,y) = arc cos xx2+y2

6. Sea f(x,y)= x sen 1y si y≠ 0 0 si y= 0

Demuestre que f(x,y) 0 cuando (x,y) (0,0); pero que

limy→0limx→0f(x,y)≠ limx→0limy→0f(x,y)7. Sea T: Rn Rn una transformación lineal dada. Calcular la derivada f’(x,y) para el campo escalar definido en Rn mediante la ecuación f(x)=T(x).T(x)

¿A qué sería igual f’(x,y) en el caso de que f esté definida así: f(x)=x . T(x) ?
Y si f está definida por f(x)= T(x)2. A qué sería igual f’(x,y)?

8. En cada uno de los siguientes literales, calcule todas las derivadas parciales deprimer orden del campo escalar dado
a) f(x,y)= sen(cos(x2 + y2))
b) f(x,y)= tg(x2y)
c) f(x,y)= x+yx-y ; x≠y
d) f(x,y)= ex+y + cos(xy)

9. En cada uno de los siguientes literales, calcule todas las derivadas parciales de 2° orden :
a) f(x,y)= ln(x2y2)
b) f(x,y)= x3+y3+x2y
c) f(x,y)= xy2 , x>0
d) f(x,y)= arc cos xy ; y≠0
e) f(x,y)= 1ycosx2 ;y≠0

10. Dada z=u(x,y) eax+by , d2udxdy=0. Hallar valores de las constantes a y b tales que:
d2zdxdy-dzdx-dzdy+z=0

11. Encontrar el vector gradiente en cada punto en el que exista para los campos escalares definidos por las ecuaciones siguientes:
a) f(x,y)= x3+y2 cos(xy)
b) f(x,y,z)= x3y2z3
c) f(x,y,z)= x3-y2+z2y
d) f(x,y,z)= ln(x2+3y2)
e) f(x,y,z)= exy+zx12. Calcular las derivadas direccionales de los siguientes campos escalares en los puntos y direcciones que se indican
a) f(x,y,z)= x2+y3+z2 en el punto (1,1,0) en la dirección i+ j-k
b) f(x,y,z)= zexy en el punto (1,1,1) en la dirección i+ j+k

13. Sean f y g dos campos escalares diferenciables en un conjunto abierto S. Deducir las siguientes propiedades del gradiente
a)grad f=0 si f es constante en S
b) grad (f+g)= grad f + grad g
c) grad (cf)= c grad f si c es constante
d) grad (fg)= f grad g + g grad f
e) grad fg= g grad f - f grad gg2 en los puntos en los que g≠0

14. Las ecuaciones u= f(x, y), x= X(t), y= Y(t) definen u como función de t, pongamos u= F(t). Calcular F’(t) y F’’(t), en función de t, en cada uno de los siguientescasos particulares:
a) f(x,y) = x2 + y2, X(t)=t, Y(t) =t2
b) f(x,y)= ln1+ex21+ey2 , X(t)=et , Y(t)= t

15.
a) Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie z= x+y3 en el punto (1,3,5)
b) Encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie xyz= a3 en un punto genérico (xo, yo, zo). Demostrar que el volumen del tetraedro limitado por ese...