Capà tulo 2 Funciones 2

CAPÍTULO 2
Funciones
Introducción
Suponga que un vendedor de melón en la Feria del Agricultor, fija el precio por kilogramo a
210 colones. Determina que si un melón pesa 2 kilogramos, el cliente deberá pagar 420
colones; o bien si pesa aproximadamente 2,5 kilogramos, le cobrará al cliente 525 colones.
Generalmente, lo que hacen los vendedores es “aproximar” el precio de su producto. Así, si
“p”representa el precio del melón y “x” es el peso que indica la balanza, tendremos una regla
que asocia el peso con el precio: p( x ) = 210 x .
Es decir que según sea el número de kilogramos del melón así será su precio, dicho en otras
palabras el precio depende del número de kilogramos. También se usa la expresión el
precio está en función del número de kilogramos.
En casi todos los fenómenosfísicos, una cantidad depende de otra. Por ejemplo, el precio a
pagar por un melón depende de su peso en kilogramos; el costo de enviar un paquete por
correo también depende de su peso; el área A de un círculo depende de su radio r; el número
de bacterias en un cultivo se incrementa con el transcurso del tiempo; el peso de un astronauta
depende de su elevación; el precio de cierto artículo depende de lademanda del mismo. En
todas estas circunstancias se desea encontrar la regla o función que relaciona ambas
situaciones.

A partir de los ejemplos descritos anteriormente se puede observar que el

concepto de función es fundamental en el estudio de la Matemática, pues es una poderosa
herramienta de modelación de fenómenos de la vida real.
En este capítulo discutiremos el concepto de función de unaforma más general, comencemos
con un ejemplo.

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N. Figueroa & V. Ramírez

Ejemplo
Tomemos los números 1, 2, 3 y 4 como los elementos de un conjunto A y los números 1, 4, 9
y 16 como elementos de un conjunto B .

Así, A = {1,2,3,4} y B = {1,4,9,16}.

¿Puede

determinar una regla que relaciona el conjunto A con el conjunto B ? Losnúmeros del
conjunto B son los cuadrados del conjunto A ; una regla es “eleve el número al cuadrado”.
En general tenemos x → x 2 . Para referirnos a esta regla la llamaremos f . Por lo tanto, en
este ejemplo f

es la regla de “elevar al cuadrado el número” y lo expresamos f ( x ) = x 2 .

Cuando escribimos f ( 2 ) , queremos decir “aplicar la regla f a 2”; al hacerlo obtenemos
2 2 = 4 por lo que seescribe f ( 2 ) = 4 . Similarmente f ( 3 ) = 9 y f ( 4 ) = 16 .
Definición de función
Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un
elemento de un conjunto B, llamado imagen de x que se denota f ( x ) .

Consideraremos funciones para las que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales.
Al conjunto A se le llama dominio de la función y al conjunto B sele llama codominio y el
rango o ámbito es el conjunto de todos los valores posibles de f ( x ) conforme x varía en

todo el dominio. Así el ámbito o rango es un subconjunto del codominio.

Los elementos del dominio se conocen como variables independientes y el correspondiente
elemento en el ámbito o rango de f como variable dependiente.

2.1)

Cálculo de imágenes

Para calcular la imagen de unnúmero real “a” en una función, se
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sustituye dicho número en la variable independiente de la fórmula
dada.

Ejemplos
1)

Para f ( x ) = 2 x + 3 , determine:

a)

f (2)

b)

f (3)

c)

f (a)

d)

f ( a + b)

Solución
a)

f ( 2 ) = 2( 2 ) + 3 = 7

b)

f ( 3 ) = 2( 3 ) + 3 = 9

c)

f ( a ) = 2( a ) + 3 = 2 a+ 3

d)

f ( a + b ) = 2( a + b ) + 3 = 2a + 2b + 3

2)

Para f ( x ) =

1+ x
, determine:
1− x

a) f (0)
b) f (4)
c) f (−1)
d ) f (π )

Solución
a)

f (0 ) =

1+ 0 1
= =1
1−0 1

b)

f(4)=

1+ 4
5
5
=
=−
1− 4 − 3
3

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c)

f ( −1 ) =

d)

f (π ) =

2.2)

1 + −1
0
= =0
1 − ( −1 ) 2

1+ π
1− π

Cálculo...