Cauchy

Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas. Mate 4009. Ecuaciones de Cauchy-Euler. Preparado por: Dr. Eliseo Cruz Medina Una ecuación diferencial de la forma an x n y n + an −1 x n −1 y n −1 + ... +a1 x y ' + a0 y = g ( x) , donde los coeficientes son constantes, es conocida como una ecuación diferencial de Cauchy-Euler. Note que el exponente de la xes igual al orden de la derivada. Comenzaré la discusión de dicha ecuación con la ecuación de segundo orden: a x 2 y ''+ bxy '+ cy = 0 homogénea; luego podemos resolver la ecuación no homogénea una vez que hallamos determinado la función complementaria. Método de solución: Nosotros tratamos una solución de la forma y = x m , donde m debe ser determinado. La primera y segunda derivadas sonrespectivamente y’ = mx m −1 , y " = m(m − 1) x m − 2 , sustituyendo en la ecuacion tenemos: ax 2 y "+ bxy '+ cy = ax 2 m(m − 1) x m − 2 + bxmx m −1 + cx m = x m (am(m − 1) + bm + c), asi x m es solución de la ecuación diferencial cuando m es solución de la ecuación auxiliar am(m-1) + bm + c =0 ó am 2 + (b − a )m + c = 0 (1) Tenemos tres diferentes casos que debemos considerar, dependiendo si las raícesde la ecuación cuadráticas son reales y distintas, reales e iguales o complejas, que como sabemos aparecen en pares conjugadas Caso 1. Sean m 1 y m 2 las raíces reales de la ecuación (1) y supongamos que son diferentes. Entonces y1 = x m1 , y = x m2 forman un conjunto fundamental de soluciones. Por lo tanto la solucion general es y = c1 x m1 + c2 x m2 Caso 2. Si las raíces de (1) son repetidas,esto es m 1 = m2 , entonces tenemos solamente una solución, digamos
y = x m1 ¿ Cómo podemos obtener la otra? Sabemos que cuando las raíces de la ecuación cuadráticas am 2 + (b − a )m + c = 0 son iguales el discriminante de los coeficientes es necesariamente cero. Por lo tanto de la b−a fórmula cuadrática obtenemos que la raíz debe ser m1 = − . Podemos ahora construir una segunda solución 2a y 2usando la fórmula obtenida en el caso ya estudiado de reducción de orden. Para esto debemos escribir la

ecuación de Cauchy con coeficiente 1, es decir, debemos dividir primeramente por el coeficiente ax 2 y obtenemos: d 2 y b dy c b b b + + 2 y = 0 . Haciendo la identificación P(x) = y ∫ dx = ln x . Sustituyendo en la 2 dx ax dx ax ax ax a
b b b−a − − e a dx m1 m1 a −2 m1 = x m1 ln x fórmulaobtenemos: y2 = x ∫ 2 m1 dx = x ∫ x x dx = x ∫ x a x a dx = x m1 ∫ x x m1 b − ln x

Caso 3. Cuando las raíces de (1) son los pares conjugados m1 = α + β i, m 2 = α − β i, donde α y β > 0 son reales
entonces la solución es y = c1 xα + β i + c2 xα − β i . Después de realizar algunas operaciones y haciendo uso de la fórmula de Euler concluimos que dichas soluciones se pueden escribir y1 = xα cos( β lnx), y 2 = xα sen( β ln x) Por lo tanto la solución general es y = xα [ c1 cos( β ln x) + c2 sen( β ln x) ] Veamos ahora algunos ejemplos que te capacitarán para resolver cualquier ecuación diferencial de este tipo.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación diferencial x 2 y "+ 5 xy '+ 3 y = 0 Solución: Hacemos y = x m . Después de derivar y sustituir obtenemos la ecuación auxiliar m(m − 1) + 5m + 3 = 0, equivalente a m 2 +4m+3 = 0 , (m+3)(m+1) = 0 , de aquí
m 1 = −3, m 2 = −1, la solucion sera y = c1 x −3 + c2 x −1

d3y d2y dy − 2 x2 2 + 4x − 4 y = 0 3 dx dx dx Solución. La ecuación auxiliar es m(m-1)(m-2)-2m(m-1)+4m – 4 = 0 . Después de multiplicar se reduce a m3 − 5m 2 + 8m − 4 = 0 . Podemos ver que al evaluar el polinomio para m = 1 obtenemos 0. De acuerdo al Teorema del Residuo, esto nodice que el polinomio es divisible por m-1.Haciendo la división por el método de división sintética obtenemos m3 − 5m 2 + 8m − 4 = (m − 1)(m 2 − 4m + 4) = (m − 1)(m − 2)(m − 2) = 0 . De aquí
Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial x3

m1 = 1, m2 = 2, m3 = 2 La solucion gerenal sera y=c1 x + c2 x 2 + c3 x 2 ln x
Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial x 2 y "− 7 xy '+ 41 y = 0...