teorema de cauchy

Augustin Louis Cauchy.
(París, 21 de agosto de 1789 - Sceaux, 23 de mayo de 1857) fue un matemático francés.
Cauchy, fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemáticaÓrbita
En teoría de grupos la órbita de un elemento de un grupo , es la clase de equivalencia que contiene todos los elementos del grupo que se relacionan con bajo una relación de equivalencia específica.
En teoría de grupos una de las ramas de las matemáticas, el término orden se utiliza en dos sentidos estrechamente relacionados:
El orden de un grupo es su cardinalidad,es decir, el número de elementos que tiene.
El orden, a veces período, de un elemento a de un grupo es el entero positivo m más pequeño tal que am = e (donde e denota el elemento identidad, también llamado neutro, del grupo, y am denota el producto de m copias de a). Si no existe tal m, se dice que a tiene un orden infinito1 .
Denotamos el orden de un grupo G por ord(G) o y el de un elementopor ord(a) o . Se puede notar que el orden de un elemento (en el segundo sentido expuesto) coincide con el orden del subgrupo generado por dicho elemento (en el primer sentido).
En otras palabras el orden de un elemento es la menor cantidad de veces que se necesita operar ese elemento con él mismo hasta obtener el elemento neutro. q



4. Clases Residuales
Estudiaremos ahora las clasesde equivalencia definidas en Z por la relación de congruencia modulo m. A estas clases a menudo se les denomina clases residuales. ¿Cuántas clases de equivalencia hay? ¿Qué aspecto tienen?
Comencemos con un ejemplo, el caso m = 4? ¿Cuál es la clase de equivalencia del entero n? Es fácil, son todos aquellos números enteros x tales que n - x es divisible por 4. Si designamos por n la clase residualde n entonces

[0] = ….,8; 4; 0; 4; 8,…

[1] = …,7; 3; 1; 5; 9;…..

[2] = … 6; 2; 2; 6; 10;….

[3]= …..5; 1; 3; 7; 11;….

Sabemos que las clases de equivalencia forman una partición del conjunto, por lo tanto no hay más clases residuales que las anteriores, ya que 0; 1; 2; 3 es una partición. Así por ejemplo, [47] = [1] = [3].
En general, hay m clases residuales modulo m. Enefecto, por el algoritmo de la división, dado cualquier entero n, n = qm + r, o sea, n ≡ r (mod m), o lo que es lo mismo, n = r. Pero como sabemos que el resto o residuo (de ah´ı el nombre de clase residual) 0 r < m, tenemos solo m clases residuales distintas, a saber, f0; 1; 2; : : : ; m 1g:
Al conjunto f0; 1; 2; : : : ; m 1g se le llama conjunto completo de representantes ya que contiene unelemento de cada clase residual. En general cualquier conjunto de m n´umeros tal que ning´un par de ellos es congruente modulo m, es un conjunto completo de representantes.
Volvamos a nuestro ejemplo. Observemos que si tomamos por ejemplo cualquier elemento de 1 y lo sumamos a cualquier elemento de, digamos, 2 obtenemos un elemento de 3. Algo parecido ocurre con todas las combinaciones de clases:el resultado no depende del representante que usemos. Lo mismo ocurre si multiplicamos representantes.





LEMA 2.8.1
Si f ϵ A(S) es de orden p entonces la órbita de cualquier elemento de S, tiene 1 o p elementos.
Demostración
fϵ A(S) es de orden primo……………………………………………dato
sea s ϵ S………………………………………………………………...def. de elementos en S.
f(s)= s…………………………………………………………………def. de funciónnotemos que la órbita de s con respecto a f es el mismo s, así que tiene un elemento, ahora supongamos que f(s)≠s
consideremos los elementos s, f(s), f²(s),…,f^(p-1); afirmamos que estos p elementos son distintos y constituyen la órbita de s respecto a f.
f^j(s) = f^i(s) , para algún 0 ≤ i < j ≤ p-1………………………………contradicción
f^(j-i)(s) = s
m=f^(j-i)………………………………………………………………declaración de...