cauchy

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales; así, si la imagen de  fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo , se puede llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ...
Puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética oen progresión geométrica, la diferencia básica es que en la sucesión aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misma razón, y en la sucesión geométrica el siguiente número de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio. En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda auna sucesión, lo que supone tener una sucesión dentro de otra sucesión.
El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores. En general, dados previamente los valores de , podemos definir el término general de forma inductiva como  como por ejemplo con la ecuación en recurrencias .


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Tipos.
Sucesión finita.
Se dice que una sucesión esfinita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:
Genéricamente: , donde  sería el término general si hiciese falta.
ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0

Sucesión constante.
Se dice que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo valor, , es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:
Genéricamente 
ejemplo: si  queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , esdecir, que todos los valores son el mismo,
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Sucesiones monótonas.
Una sucesión monótona es una sucesión creciente o decreciente:1
Sucesión creciente.
Si se impone al término general de una sucesión numérica la condición que , es decir, que el siguiente término, , siempre sea mayor estricto que su predecesor, , se llaman sucesiones estrictamente crecientes:
Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ...
Para reales: .
Si se impone , es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.
Sucesión decreciente.
Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:
si  es estrictamente decreciente.
si  entonces la sucesión es decreciente.

Sucesión alternada.
Intuitivamente se llamasucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como  que nos genera la sucesión: a0=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... utilizada por las series llamadas series alternadas.
Sucesiones Acotadas.
Una sucesión , está acotada cuando,

Sucesiones Convergentes.
Una sucesión , converge a  o tiene por límite  (cuando ), y se escribe,

cuando,


Propiedades.
Unicidad del límite de unasucesión.
Si una sucesión  converge, entonces el  es único.







Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente.
Si una sucesión  es convergente, entonces está acotada.
Extensión a los reales.


Compruébese que , ilustrando que dos funciones reales diferentes pueden corresponder a una misma sucesión sobre los enteros.

Dada una función , llamaremos extensiónen los reales de  a una función  cuyos valores coinciden en el dominio de , es decir, .
Es incorrecto representar a la extensión en los reales con el mismo nombre (), pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no unívoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Se suele llamar a la extendida por ejemplo  o  si es un polinomio, o  o  si sonfunciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.
La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones, entre otras.
Generalización en distintas áreas.
Estos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas....