ecuacion cauchy

Páginas: 3 (704 palabras) Publicado: 11 de junio de 2013
ECUACION DE CAUCHY-EULER

Las ecuaciones de Euler o Cauchy-Euler son ecuaciones lineales con coeficientes variables que pueden transformarse, mediante cambio de variables, en ecuaciones concoeficientes constantes. Se refiere a veces como una ecuación equidimensionales. Debido a su estructura simple de la ecuación puede ser sustituida por una ecuación equivalente con coeficientesconstantes que pueden ser resueltos de manera explícita.

La ecuación se presenta de esta manera:
Vamos y ( n ) ( x ) es el n º derivada de la función desconocida  y ( x ). A continuación, una ecuaciónde Cauchy-Euler de orden n tiene la forma



La sustitución x = e u reduce la ecuación a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Alternativamente, una solución deprueba y = x m se puede utilizar para resolver las soluciones de base.

En la ecuación de segundo orden - a través de la solución de solución de prueba:


El más común de Cauchy-Euler es la ecuación de segundoorden, aparecen en un número de la física y las aplicaciones de ingeniería, como en la resolución de la ecuación de Laplace en coordenadas polares. Es dada por la ecuación 


Se parte de una soluciónde prueba dado por 

Diferenciar, tenemos:

y

Sustituyendo en la ecuación original, tenemos:


O reorganizar ofrece:

A continuación, se puede resolver de m . Hay tres casos particularesde interés:
Caso # 1: dos raíces distintas, m 1 y m 2
Caso # 2: Una de las raíces reales repetidas, m
Caso # 3: raíces complejas, α ± β i
En el caso 1, la solución viene dada por:

En el caso 2,la solución está dada por

Para llegar a esta solución, el método de reducción de orden se debe aplicar después de haber encontrado una solución y  =  x m .
En el caso 3, la solución viene dadapor:



Para y en el plano real
Esta forma de la solución se obtiene mediante el establecimiento de x  =  e t y utilizando la fórmula de Euler

De segundo orden - solución a través del...
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