Centros de masa y centroides


Centros de masa

De un sistema unidimensional
Consideramos dos tipos de momentos de una masa: el momento respecto a un punto y el momento respecto a una recta. Para definirlos, consideremos lasituación ideal de una masa m concentrada en un punto (una masa “puntual”) Si x es la distancia de ese punto a otro punto P, el momento de m respecto al punto P es

Y x es la longitud del brazo delmomento.
Ejemplo 1
El concepto de momento queda ilustrado con nitidez por un sube y baja (Figura 1). Si un niño de 20 kg se sienta a 2 m del punto de apoyo y otro de 30 kg de masa se sienta a 2m en el lado opuesto, sabemos, por experiencia, que el sube y baja se inclinara de forma que el niño mayor baje al suelo. Esta rotación ocurre porque el momento producido por el niño de la izquierdaes menor que el producido por el de la derecha.

Figura 1.- El sube y baja se equilibra cuando los momentos a la derecha y a la izquierda son iguales

*Momento del niño a la izquierda:
Momento niñoizquierda = mx
= (20kg) (2m)
= 40 kg.m
*Momento del niño a la derecha:
Momento niño derecha = mx
= (30kg) (2m)
= 60 kg.m

Para que el sube y baja se balancee, los dos momentos han de ser iguales. Porejemplo, si el niño más pesado se sentara a 4/3 m del punto de apoyo, el sube y baja se balancearía, ya que cada uno de los niños produciría un momento de 40 kg.m.
*Demostración:
Momento niño derecha =mx
= (30kg) (4/3m)
= 40 kg.m

Con el fin de generalizar estas consideraciones, se introduce una recta coordenada con el origen en el punto de apoyo (Figura 2). Supongamos varias masas colocadas en esteeje x. La medida de la tendencia del sistema a girar en torno del origen es el momento respecto al origen, y se define como la suma de n productos mi.xi


Figura 2.- Si m1.x1 +m2.x2 +…+ mn.xn= 0, elsistema está en equilibrio
Si M0 es 0, se dice que el sistema está en equilibrio.
Para un sistema que no está en equilibrio, el centro de masa se define como el punto en el que habría que colocar...