Certamen 1 Mate 3 Icipev

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa Departamento de Matem´tica a Campus Santiago

Certamen 1 - Mate 3 Icipev
Martes 4 de Octubre del 2005
Problema 1: Sea f (x, y, z) = z − ex sin(y) y P= (ln 3, 3π , −3). Determinar: 2

(a) gradiente de f en el punto P , (b) el plano tangente a esta superficie en el punto P .

Soluci´n: o

(a)

f (x, y, z) = (− ex sen y , − ex cos y , 1)Evaluando en P se tiene: f ln 3 , 3π , −3 2 = (3 , 0 , 1)

(b) Ecuaci´n del plano tangente: o 3x + z = 3 ln(3) − 3

Problema 2:

Si w = f

y−x z−y , xy yz x2

. Probar que

∂w ∂w ∂w + y2 + z2=0 ∂x ∂y ∂z

Soluci´n: o Hacer u = z−y y−x y v= . Entonces xy yz ∂w ∂x = = ∂f ∂u ∂f ∂v · + · ∂u ∂x ∂v ∂x ∂f ∂u −xy − y 2 + xy x2 y 2 + ∂f ·0 ∂v

= −

1 ∂f · x2 ∂u

∂w ∂y

= = =

∂f ∂u ∂f∂v · + · ∂u ∂y ∂v ∂y ∂f ∂u xy − (y − x)x x2 y 2 + ∂f ∂v −yz − (z − y)z y2 z2

1 ∂f 1 ∂f · − 2· 2 ∂u y y ∂v

∂w ∂z

= =

∂f ∂f ·0+ ∂u ∂v 1 ∂f · z 2 ∂v

yz − (z − y)y y2 z2

Luego se tiene: x2· ∂w ∂w ∂w ∂f ∂f ∂f ∂f + =0 + y2 · + z2 · =− + − ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂v ∂v

Problema 3: Soluci´n: o

Pruebe que el m´ximo valor de x2 y 2 z 2 bajo la condici´n x2 + y 2 + z 2 = R2 es a o

R2 3

3.

Considerar la funci´n T (x, y, z) = x2 y 2 z 2 y g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − R2 . Usando multiplicadores de o Lagrange y resolviendo el sistema: T (x, y, z) = λ g(x, y, z) , se tiene: xy 2 z2 x2 yz 2 x2 y 2 z = λx = λy = λz

Multiplicando por x la primera ecuaci´n, por y la segunda y por z la tercera, se tiene: o λx2 = λy 2 = λz 2 Para λ = 0 se tiene |x| = |y| = |z| y reemplazando enla ecuaci´n de la esfera, se tienen las soluciones o R x = ±√ 3 R y = ±√ 3 R z = ±√ 3

Los cuales corresponden a m´ximos de T en la esfera. a Observar que los m´ ınimos se encuentran cuando x = 0, oy = 0 o z = 0.

Problema 4: Un canaleta cuya secci´n transversal tiene forma de trapecio, con ´ngulos en la base o a iguales, se va a construir doblando bandas iguales a lo largo de ambos...