circunferencia ejercicios

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Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que se encuentran a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro) de ese plano.










Si es un punto genérico de una circunferencia de centro y radio , entonces por la definición de circunferencia se tiene:

Es decir:

A esta ecuación se conoce como la Ecuación Ordinaria oForma Ordinaria de la ecuación de una circunferencia.

OBSERVACIÓN:
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio r tiene por ecuación:
“Forma Canónica”

Donde:
y











ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Si la ecuación ordinaria de la circunferencia se desarrolla, entonces se tiene:


Ordenando la ecuación, obtenemos:


Haciendo:
; ,Ecuación que tiene la forma:


La ecuación anterior es llamada forma general de la ecuación de la circunferencia.

Observación:
Para saber si una ecuación de la forma:



Representa una circunferencia, procedemos a completar cuadrados y obtenemos:



Comparando esta ecuación con la ecuación:


Observamos que toda ecuación de la forma:


Representa una circunferencia de centro:Donde: y



Siempre que se cumpla la condición:








1. Hallar el centro y el radio de la circunferencia:

a) b)
c) d)
e)

Resolución:
 Recuerda que la ecuación de la circunferencia es


 Completando a cuadrados en la ecuación dada del problema en mención:



 De donde: y
Rpta.

2. Determinar la longitud de la circunferencia cuya ecuaciónes:

a) b) c)
d) e)

Resolución:
 Nos piden la longitud de circunferencia:
 Recordemos que la longitud es igual a:

 Para resolver este problema entonces será necesario hallar únicamente encontrar el valor del radio.
 Ahora debemos completar a cuadrados en la ecuación que nos dieron:


 De donde:

 Finalmente:
Rpta.

3. Hallar la ecuación de lacircunferencia de centro y que pasa por el punto
a)
b)
c)
d)
e)

Resolución:
Graficando tenemos:










 Hallando “r”:
 Resolviendo:
 La ecuación de la circunferencia estará dada por:
Rpta.

4. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia:
Cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia.
a)
b)
c)
d)
e)

Resolución:
Hallando el centro y el radio, previamente completando a cuadrados:


 De donde:
y
 Graficando tenemos:








 Del grafico tenemos:
Rpta.

5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: , en el punto:
a) b)
c) d)
e)

Resolución:
 Hallando el centro y el radio de:


 De donde:
 Graficando tenemos:












 ,entonces:

 Hallando “”:

 Luego en “”:
 Hallando la ecuación de la recta “”




 Operando y trasponiendo términos:

Rpta.

6. Los puntos extremos de una cuerda de una circunferencia son:
y
La ecuación de esta circunferencia que tiene su centro en el eje “y” es.

a)
b)
c)
d)
e)

Resolución:
 Graficando tenemos:









 Del gráfico:
Entonces:
 Resolviendo:
 Luego el radio será:
 Entonces la ecuación estará dada por:

 Desarrollando y transponiendo términos:
Rpta.

7. Hallar la posición relativa de la recta , respecto a la circunferencia.

a) Secante b) Exterior
c) Tangente d) Interior
e) Concéntricas

Resolución:
 Recuerda:









 Resolviendo el sistema formado por lasecuaciones:


 Despejando “y” en la primera ecuación:


 Sustituyendo en

 De donde:
 Reemplazando en :
 Finalmente por tratarse de un único punto de intersección diremos que la recta es a la circunferencia. Rpta.

8. Las circunferencias:


Son tangentes en el punto “P”, calcular las coordenadas de “P”.
a) b) c)
d) e)

Resolución:
...