Combinaciones y permutaciones
Páginas: 6 (1473 palabras)
Publicado: 7 de noviembre de 2015
Combinaciones y permutaciones
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el o
rden
de las cosas
es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas"
: no importa en qué orden pusimos las
frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472"
: ahora
sí
importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser
exactamente
472
.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más
preciso
:
Si el orden no importa, es una
combinación
.
sí
importa es una
permutación
.
Si el orden
¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!
Con otraspalabras:
Una permutación es una combinación
ordenada
.
Para ayudarte a recordar, piensa en "
P
ermutación...
P
osición"
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
1.
2.
Se permite repetir
: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
Sin repetición
: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar
primero
y
segundo a la vez.
1. Permutaciones con repeticiónSon las más fáciles de calcular. Si tienes
n
cosas para elegir y eliges
r
de ellas, las permutaciones
posibles son:
r
n × n × ... (r veces) = n
(Porque hay
n
posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n
posibilidades para la segunda
elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
3
10 × 10 × ... (3 veces) =10
= 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
r
n
donde
n
es el número de cosas que puedes elegir, y
eliges
r
de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se
reduce
el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra
vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después
14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo loescribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "
función factorial
"
!
La
función factorial
(símbolo: ) significa que se multiplican números descendentes.
Ejemplos:
●
●
●
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
Nota: en
general se está
de acuerdo en
que
0! = 1
.
Puede que
parezca
curioso que no
multiplicar
ningún número
dé 1, pero ayuda a
simplificar
muchas
ecuaciones.
Así que si quieres elegir
todas
las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un
buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
13 × 12 ...
= 16 × 15 × 14 = 3360
¿Lo ves?
16! / 13! = 16 × 15 × 14
Lafórmula se escribe:
donde
n
es el número de cosas que puedes elegir, y
eliges
r
de ellas
(No se puede repetir, el orden importa)
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16!
=
16!
=
20,922,789,888,000
= 3360
(163)!
13!
6,227,020,800
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10!
(102)!
=
10!
=
3,628,800
8!
40,320
(que es lo mismo que:
10 × 9 = 90
)
= 90
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden n
o
importa):
1.
2.
Se puede repetir
: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
Sin repetición
: como números de...
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el o
rden
de las cosas
es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas"
: no importa en qué orden pusimos las
frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472"
: ahora
sí
importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser
exactamente
472
.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más
preciso
:
Si el orden no importa, es una
combinación
.
sí
importa es una
permutación
.
Si el orden
¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!
Con otraspalabras:
Una permutación es una combinación
ordenada
.
Para ayudarte a recordar, piensa en "
P
ermutación...
P
osición"
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
1.
2.
Se permite repetir
: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
Sin repetición
: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar
primero
y
segundo a la vez.
1. Permutaciones con repeticiónSon las más fáciles de calcular. Si tienes
n
cosas para elegir y eliges
r
de ellas, las permutaciones
posibles son:
r
n × n × ... (r veces) = n
(Porque hay
n
posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n
posibilidades para la segunda
elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
3
10 × 10 × ... (3 veces) =10
= 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
r
n
donde
n
es el número de cosas que puedes elegir, y
eliges
r
de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se
reduce
el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra
vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después
14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo loescribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "
función factorial
"
!
La
función factorial
(símbolo: ) significa que se multiplican números descendentes.
Ejemplos:
●
●
●
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
Nota: en
general se está
de acuerdo en
que
0! = 1
.
Puede que
parezca
curioso que no
multiplicar
ningún número
dé 1, pero ayuda a
simplificar
muchas
ecuaciones.
Así que si quieres elegir
todas
las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un
buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
13 × 12 ...
= 16 × 15 × 14 = 3360
¿Lo ves?
16! / 13! = 16 × 15 × 14
Lafórmula se escribe:
donde
n
es el número de cosas que puedes elegir, y
eliges
r
de ellas
(No se puede repetir, el orden importa)
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16!
=
16!
=
20,922,789,888,000
= 3360
(163)!
13!
6,227,020,800
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10!
(102)!
=
10!
=
3,628,800
8!
40,320
(que es lo mismo que:
10 × 9 = 90
)
= 90
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden n
o
importa):
1.
2.
Se puede repetir
: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
Sin repetición
: como números de...
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