Combinatoria

´ Algebra (I. El´ctrica / I. Tecnolog´ Industriales) e ıas TIPO A. Septiembre 2011
Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura ´ptica. Cada respuesta correcta suma o 1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan. Problema: Se corregir´ s´lo si la nota obtenida en los 6 ejercicios es igual o superior a 2.33ptos. a o

by +z = 1 Ejercicio 1 Dadoel sistema de ecuaciones y +az = b . Los valores  x+ (b − 1)y +2z = 1 de a y b para que el sistema sea compatible indeterminado son: A) a = −1, b ̸= 0; B) a ̸= −1, b ̸= 1; C) a = b = −1; D) Ninguna de las anteriores. Ejercicio 2 Si a ∈ R verifica que el conjunto F = {(x, y) ∈ R2 : x−y = a, 2x+y = 0} es un subespacio vectorial de R2 entonces: A) El valor de a es unico; B) a ̸= 0; C) ´ F ̸= {(0,0)}; D) Ninguna de las anteriores. Ejercicio 3 Si f es una aplicaci´n lineal de R3 en R2 tal que f (1, −1, 1) = (1, 1) y o f (2, −3, 3) = (0, −1). Entonces A) La dimensi´n del n´cleo de f es 0; B) f (−1, 2, −2) ̸= o u (1, 2); C) Con los datos dados NO es posible calcular la imagen de cualquier vector de R3 ; D) Ninguna de las anteriores es cierta.   1 0 0 Ejercicio 4 Si A es la matriz  a 1 0 , elvalor de a para que la matriz A sea 1 1 2 diagonalizable es: A) a = 1; B) a ̸= 0; C) Cualquiera; D) Ninguna de las anteriores. Ejercicio 5 La matriz G asociada a un producto escalar siempre es: A) Sim´trica; e B) Diagonal; C) Ortogonal; D) Ninguna de las anteriores. Ejercicio 6 Si Q es una forma cuadr´tica de R3 , x, y ∈ R3 y λ > 1 entonces: A) a Q(x + y) = Q(x) + Q(y); B) Q(λx) = λQ(x); C) Q((0,0, 0)) ̸= (0, 0, 0); D) Ninguna de las anteriores. Problema a)(2.5ptos.) Consideremos L1 y L2 dos subespacios de R3 . Teniendo en cuenta la caracterizaci´n de subespacio vectorial, demostrar que L1 ∩L2 o 3 es un subespacio de R .(0.5ptos.) Discutir mediante ejemplos si L1 ∪ L2 es o no subespacio de R3 . (0.5ptos.) Si L1 est´ generado por (1, 0, 0) y (0, 0, 1) y L2 por (1, 1, 1), calcular lasecuaciones a cartesianas del subespacio L1 + L2 .(0.5ptos.) Considerando el producto escalar est´ndar definido en R3 , calcular un subespacio a ortogonal al subespacio L1 generado por (1, 0, 0) y (0, 0, 1). (1pto.) b)(1.5ptos.) Clasificar la forma cuadr´tica definida por la expresi´n a o F (x1 , x2 , x3 ) = 2x2 + 2x2 + 8x2 + 10x1 x2 . 1 2 3

  x+

 1 b 1 La matriz asociada a los coeficientes A = 0 1 a  tiene rango mayor o igual a 1 b−1 2 2. Adem´s, el determinante de A es a + 1. Para que el sistema sea compatible indetera minado, el rango de A  debe ser igual al  rango de la matriz ampliada y debe valer 2.Por 1 b 1 1 0 lo tanto a = −1 y rang 1 a b  = 2. Entonces todas las submatrices de orden 1 b−1 2 1   1 b 1 1 3 de la matriz ampliada  0 1 −1 b  deben tener determinante 0. Lamatriz 1 b−1 2 1   b 1 1 que resulta al eliminar la primera columna  1 −1 b  tiene como determinante b−1 2 1   1 1 1 −b2 − b = −b(b + 1). El determinante de la matriz 0 −1 b  es −b. Por ultimo el ´ 1 2 1   1 b 1 0 determinante de la matriz 1 b  es b. 1 b−1 1 Entonces, las condiciones que deben cumplir a y b para que el sistema sea compatible determinado son: a = −1, b = 0. Soluci´n 1 o D) es cierta. Soluci´n 2 o A) es cierto. En efecto, como todo subespacio vectorial de R2 debe contener al elemento (0, 0) (elemento neutro de R2 ) se verifica que (0, 0) ∈ F por lo tanto 0 − 0 = a. Entonces necesariamente a = 0. Luego el valor de a es unico. NO existe otro valor para a distinto ´ de 0 que hace que F sea subespacio de R2 . B) es falsa debido al razonamiento anterior. C) es falsoporque las ecuaciones cartesianas de F son x − y = 0 y 2x + y = 0, por lo tanto x = y = 0 y F = {(0, 0)}. A) es cierta. Soluci´n 3 o A) es falso porque el subespacio imagen de f (subespacio de R2 ) tiene al menos dimensi´n o 2 ya que el rango de {f (1, −1, 1), f (2, −3, 3)} es 2. Entonces, la dimensi´n del n´cleo es o u 1 ´ 0 teniendo en cuenta que la suma de la dimensiones del n´cleo y la imagen...