Compensadores

Compensación por adelanto-atraso
Va a haber una suma de efectos: la compensación en adelanto aumenta el ancho de banda, lo que a su vez mejora la velocidad de respuesta y reduce el valor del sobreimpulso, sin embargo, la mejora en el régimen estacionario es pequeña. Por otra parte, la compensación en atraso produce una gran mejora en la respuesta estacionaria pero da una respuestatransitoria pobre debido al reducido ancho de banda. Por tanto, el compensador en adelanto-atraso se aplicará cuando deseemos mejoras tanto en respuesta transitoria como en respuesta estacionaria.
Para una entrada sinusoidal ei, la salida eo es también sinusoidal pero con un desfase que es función de la frecuencia de entrada. Este ángulo de desfase varía desde retardo a adelanto a medida que lafrecuencia va de 0 a ∞ :
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Si hacemos:
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Nos queda la siguiente función de transferencia:
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Diagrama polar:
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Como hemos dicho, según cuál sea la frecuencia, la red actúa de una u otra forma:
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Siendo w1 la frecuencia a la que el ángulo de fase es cero, con valor:
[pic]Diagrama de Bode: para β =10 y T2=10T1, la curva de amplitud tiene 0dB para las zonas de alta y baja frecuencia:
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Veamos a continuación los dos métodos que nos permiten compensar en adelanto-atraso:
- Técnica de compensación en adelanto-atraso basada en el lugar de las raíces:
Debemos seguir el siguiente procedimiento:
1) De las especificaciones defuncionamiento dadas, determinar la ubicación deseada de los polos dominantes de lazo cerrado.
2) Para tener los polos dominantes de lazo cerrado en el lugar requerido, calcular la contribución Φ necesaria de la parte de adelanto de fase.
3) Usando la siguiente función de transferencia del compensador en adelanto-atraso:
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Determinar kc del requisito de coeficiente deerror estático determinado, normalmente:
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4) Obtener T1 y β de:
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Donde s1 es uno de los polos dominantes de lazo cerrado deseados.
5) Hallar T2 de:
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Donde ahora también s1 es uno de los polos dominantes de lazo cerrado deseados.
Veamos un ejemplo:
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Ejemplo:
Dada la siguiente función de transferencia de lazoabierto de un sistema con realimentación unitaria:
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Se desean las siguientes especificaciones:
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El sistema original es de segundo orden, con polos de lazo cerrado en: s=-0.25± j1.98. La relación de amortiguamiento es ξ =0.125, la frecuencia natural no amortiguada wn=2 rad/seg y el coeficiente estático de error de velocidad kv=8 seg-1.
Comovemos, no se cumple ninguno de los requisitos, así que tendremos que compensar en adelanto-atraso porque nos dan especificaciones de respuesta transitoria y estacionaria.
A partir de éstas, podemos deducir los polos dominantes de lazo cerrado deseados:
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Obtengamos la ganancia del compensador:
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Para calcular el ángulo de desfase, nos podemos ayudar deldiagrama del lugar de las raíces:
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Normalmente, para simplificar el diseño del compensador, se coloca un cero del mismo "encima" de uno de los polos del sistema y el otro polo del compensador se deduce sabiendo que ha de cumplirse que la suma de ángulos sea -180º:
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Veamos dónde debe estar el polo para que forma un ángulo de 60º con lospolos dominantes:
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Por lo tanto, ya tenemos diseñada la red de adelanto: [pic]
De aquí, podemos sacar los valores de β y T1:
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Para la parte de atraso, tenemos que:
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De cualquiera de las dos condiciones podemos obtener le valor de T2, que será de:
T2=10
Entonces, el compensador diseñado es:
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Finalmente,...