Complejo

Variable Compleja
José Darío Sánchez Hernández
Bogotá -Colombia - abril 2005
danojuanos@hotmail.com
danojuanos@tutopia.com
El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación
encontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas,
corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactaralgunos,
por favor hágalo, de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es
indispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de Variable Compleja, en
esta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego
encontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se supone es
correcta, sin descartar laposibilidad de que haya algunos errores; el lector deberá revisarlas
analizando cuál de los resultados básicos se ha utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BÁSICOS
1.Si es un cuerpo conmutativo

se dice que la aplicación

es

un valor absoluto arquimediano si
Para todo
,

Existen

tal que

max

2.

es el único cuerpo con valor
absoluto arquimediano completo y tal que laecuación
tiene
una solución salvo isomorfismos .

3.Sea

un abierto no vacío del plano complejo .
. Denotemos
por
la variable en . Por
donde
, se denotará a una función de variable compleja.
La función
es continua si y sólo si las funciones
son
continuas.

4.Sea

, se dice que una función
de variable compleja es
complejamente diferenciable en el punto , si existe
lim
En estecaso se llama la derivada de en el punto
Si es complejamente diferenciable en , entonces

5.Ecuaciones

de Cauchy-Riemann: Si
complejamente diferenciable en el punto
punto
existen las derivadas parciales

una

y se nota
es continua en

.

función
es
entonces en el
y se tiene
.

Darío Sánchez H

Variable Compleja

2

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden tambiénescribir en la
forma

6.En

general dada la función
el hecho de que existan las
derivadas parciales
en un punto
y que se cumplan las
condiciones de Cauchy-Riemann en ese punto no garantiza que
sea
complejamente diferenciable en
.
Tómese como contra-ejemplo a la función
, si
, si

7.Sea

y
. Para que la función
sea
complejamente diferenciable en el punto
es necesario ysuficiente
que cada una de las funciones
sea diferenciable en el punto
y que las derivadas parciales cumplan las condiciones de CauchyRiemann.

8.

es diferenciable en un punto
tales que para cada punto
en una vecindad de

donde

lim

, en este caso

, si existen
se tenga que
.

9.Sean

abierto no vacío de ,
funciones complejamente
diferenciable en el punto . Entonces las funcionesson
complejamente diferenciables en y

Además, si

, entonces

es complejamente diferenciable en

y

.

10.Regla

de la cadena: Sean
abiertos no vacíos de ,
,
.
Entonces, si
es complejamente
diferenciable en
y
es complejamente diferenciable en
también es complejamente diferenciable en y

11. Sea

un abierto no vacío de y
se dice que es HOLOMORFA
en
si escomplejamente diferenciable en todos los puntos de . Se
dice que
es HOLOMORFA en el punto
si
es holomorfa en una
vecindada de .
Las funciones holomorfas de
forman un anillo conmutativo con
elemento unidad
.

Darío Sánchez H

Variable Compleja

3

12.

en este caso vale

el criterio de Cauchy, o sea
se sigue que si la serie converge entonces
converge absolutamente cuando

13.Seaø

.

lim
.

un conjunto cualquiera y

. Se denota por

. Se dice que una serie

sup
funciones

es

normalmente

convergente

de

sobre

si

.

14.Sea

ø un conjunto cualquiera,

complejas sobre

, normalmente convergente. Entonces

, la serie
La serie

es absolutamente convergente.

es uniformemente convergente sobre

15.Sea

ø

y

es continua...