Concavidad Y Puntos De Inflexion

Concavidad y puntos de inflexión
Concavidad
Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces sedice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.
En la siguiente representación gráfica, una función f escóncava hacia arriba en el intervalo  y cóncava hacia abajo en el intervalo  

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Teorema 5
Si f es una función tal que  cuando, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre. Demostración
Si  y como, entonces se tiene que  es creciente sobre  por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre 
Teorema 6Si f es una función tal que  cuando, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre. 

Demostración
Si f es una función tal que  cuando, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre. Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación 

Si  entonces,y,  

Luego,  si  y,  si. 

Como, entonces  es creciente en los intervalos, pues en ellos  espositiva. Además  es decreciente en el intervalo  pues en él  es negativa. 

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo  y cóncava hacia abajo en el intervalo. 

La representación gráfica dela función  es la siguiente: 
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Representación gráfica de

Observe que  es creciente en  y  y decreciente en. 

Representación gráfica de la función f:Representación gráfica de la función f
Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos  y cóncava hacia abajo en el intervalo. 

Puntos de inflexión
Se dice que  es un punto de inflexión dela gráfica de una función f, si existe un intervalo  tal que, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre, y cóncava hacia abajo sobre, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma...