Conicas GeoAnaLItiCA Dic_2014

LAS CÓNICAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Fueron los griegos quienes “inventaron” la geometría. La palabra geometría significa medir la tierra.
La acción de medir la tierra la tenían que repetir cada vez que el río Nilo se inundaba y borraba las señales y límites anteriores.
De esta práctica surgieron fórmulas de distintas figuras geométricas para el cálculo de superficies yvolúmenes.
Tiene que transcurrir mucho tiempo, hasta el siglo XVII en que René Descartes aborda la resolución de problemas geométricos haciendo aplicación del álgebra con la ayuda especial de las coordenadas cartesianas.
Este es el comienzo del estudio de la geometría en el que para la resolución de los problemas geométricos se necesitan examinarlos, analizarlos y reducirlos a expresiones yecuaciones algebraicas para su inmediata resolución. A esta Geometría la conocemos como Geometría Analítica.
CÓNICAS: EL CONO Y SUS CORTES
CIRCUNFERENCIA
Basado en los trabajos de Menecmo, Apolonio demostró que la elipse, la circunferencia, la parábola y la hipérbola son secciones de un cono, y por ello las llamó cónicas. ¿Qué hizo?
 
 
 
Imagina como él, una recta de longitud indefinida que pasasiempre por un punto fijo (V). Ahora imagina que giras esa recta sobre una trayectoria circular, como ilustramos a continuación:
 
 
 

 
 
 
Como ves, la recta móvil (o generatriz) genera el cono que viste en la pantalla anterior. Apolonio también demostró que no es necesario que el cono sea circular recto (como el de la figura anterior) sino que las cónicas pueden generarse en cualquier conocircular:
 
 
 

 
 
 
Si cortamos este cono con un plano, podemos obtener las cuatro cónicas: al variar el ángulo de inclinación, cambiará la cónica:
 
 
 
Para la elipse, el corte debe ser oblicuo a la base.
 
 
 

 
 
 
Para la circunferencia, la inclinación del plano debe ser paralela a la base del cono.
 
 
 

 
 
 
Para la parábola, el plano de corte debe ir paralelo a la generatriz
 
 
 

 
 
 
Parala hipérbola, el plano debe cortar a las dos secciones del cono.
 
 
 

 
 

 
Ecuaciones reducida y general de la circunferencia:

1) Cualquier punto de la circunferencia  P(x,y) dista al centro de la misma, la distancia r. Observa que el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas.

Podemos escribir dicha distancia:  a la que denominamos ecuación reducida de lacircunferencia.
2) Una circunferencia cuyo centro corresponde al punto C(a,b) de un eje de coordenadas lo representamos como sigue:

El radio de esta circunferencia lo calculamos, fijándonos en la figura siguiente:

Como el radio es la distancia del centro a un punto de la circunferencia y haciendo uso de los valores de coordenadas podemos escribir la siguiente ecuación:

Haciendo operaciones:

Ordenandoobtenemos:

Damos valores a:

Sustituyendo estos valores en (I) conseguimos:

que es la ecuación de la circunferencia (geometría analítica).
También se la denomina ecuación general de la circunferencia.
Los coeficientes de x e y deben ser iguales a 1.
No debe contener ningún término xy.
 
Coordenadas del centro:
Sabemos que el centro está representado por C(a,b) lo que significa que:
 
 o bien, 
 Valor del radio:
Sabemos que  o bien, 
que nos lleva a:  (sustituyendo).
Extraemos la raíz cuadrada en ambos miembros para calcular el valor del radio:

ELIPSE
 
¿Qué entendemos por elipse?

Se trata  del lugar geométrico de los puntos (línea amarilla) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F1 y F2llamados focos se mantiene constante:

Construcción de una elipse
A esta construcción se la conocecon el nombre de  método del jardinero.
Puedes hacer con cartón liso, dos chinchetas, una cuerda y un bolígrafo. También puedes hacerla sobre arena sirviéndote de dos palos iguales, una cuerda y un tercer palo que acabe en punta para rayar el suelo.
La cuerda las atas a las chinchetas (amarillo clavadas en el cartón) o a los dos palos iguales (amarillo clavadas en la arena).

Con el bolígrafo o...