Conicas

Capítulo 4
LAS CÓNICAS.-
Las cónicas son figuras geométricas planas que derivan de la intersección de un plano con un cono. Según
como el plano corta al cono se originan las distintas curvas:
Si cortamos el cono con un plano perpendicular a su eje de simetría, la curva resultante es una CIRCUNFERENCIA
Definición 4.1 La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y) queequidistan de un punto
fijo llamado centro. La distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro, se llama radio
Figura 4.1 Circunferencia Figura 4.2 Sección cónica que genera la circunferencia
Si la inclinación del plano es igual a la pendiente del “lado del cono”, la curva resultante es una PARÁBOLA
Definición 4.2 La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y) queequidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
47Universidad Católica del Norte - Departamento de Matemáticas 48
Figura 4.3 Parábola Figura 4.4 Sección cónica que genera una parábola
Si el plano corta al cono con una pendiente mayor que cero y menor que la pendiente del "lado del cono”...
ya no se obtiene una circunferencia, sino una ELIPSE
Definición 4.3 La elipse esel lugar geométrico de todos los puntos (x, y) cuya suma de distancias a dos puntos
fijos llamados focos es constante.
Figura 4.5 Elipse Figura 4.6 Sección cónica que genera una elipse
Si el plano es paralelo a cualquier plano que atraviesa el eje de simetría, obtenemos una HIPERBOLA, que
está formada por dos curvas iguales opuestas.
Definición 4.4 La hipérbola es el lugar geométrico de todoslos puntos (x, y) cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos llamados focos es constante
.
Figura 4.7 Hipérbola Figura 4.8 Sección cónica que genera una hipérbolaUniversidad Católica del Norte - Departamento de Matemáticas 49
Hasta aquí hemos definido las distintas cónicas tanto desde el punto de vista de su relación con el cono como
de su definición analítica (lugar geométrico).
Ahora apartir de su definición como lugar geométrico, analizaremos cada una de ellas, determinando la
ecuación que la define y sus elementos principales.
4.1. La Circunferencia
Definición 4.5 Sea O (h, k) las coordenadas del centro de una circunferencia de radio r (r > 0). El punto P
(x, y) está en dicha circunferencia sí y sólo si (x − h)
2
+ (y − k)
2
= r
2
. Esta ecuación recibe el nombre de“ecuación ordinaria de la circunferencia” (entrega información sobre su centro y sobre su radio).
Si el centro coincide con el origen de coordenadas, entonces se tiene la ecuación x
2
+y
2
= r
2
. Esta ecuación,
también recibe el nombre de “ecuación canónica de la circunferencia”.
Ejemplo 4.1 Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y centro el punto O (3, −2)
Solución:Reemplazando en la fórmula se tiene: (x − 3)
2
+ (y + 2)
2
= 16
4.1.1. Ecuación general de la circunferencia
Desarrollando la ecuación ordinaria se tiene:
(x − h)
2
+ (y − k)
2
= r
2
x
2
− 2hx + h
2
+ y
2
− 2ky + k
2
− r
2
= 0
Ordenando
x
2
+ y
2
− 2hx − 2ky + h
2
+ k
2
− r
2
= 0
Que la podemos escribir como x
2
+ y
2
+ Dx + Ey + F = 0. Esta ecuación se llamaecuación general de la
circunferencia y comparando ambas ecuaciones podemos deducir que
D = −2h, E = −2k, F = h
2
+ k
2
− r
2
Por lo tanto, se tiene que
h = −
D
2
, k = −
E
2
, r =
r
D2
+ E2
− 4F
4
Es decir, conociendo su ecuación general, también podemos conocer el centro y radio de la circunferencia.
Observación 4.1 Estas fórmulas (para el centro y radio de la circunferencia) sonválidas sólo si la ecuación
está dada como x
2
+ y
2
+ Dx + Ey + F = 0, es decir el coeficiente de los términos al cuadrado debe ser
uno. De no ser así, la ecuación debe dividirse por el coeficiente de los términos al cuadrado, antes de ocupar
las fórmulas.
No está demás agregar que como r debe ser positivo, D2
+ E2
− 4F > 0
Si D2
+ E2
− 4F = 0 el radio sería cero y se tiene sólo un...