Conicas
Páginas: 6 (1432 palabras)
Publicado: 7 de mayo de 2012
ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS
CONICAS
EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS
1) La ecuación x 2
a) El vértice.
la directriz.
4 x 6 y 10 0 es una parábola. Hallar:
b) El foco
c) El parámetro.
e) Dibujar la gráfica.
d) La ecuación d e
SOLUCIÓN
La ecuación general de la parábola para este caso es: x 2
. Comparando la ecuación dada con esta, se tiene:
4
4p
2 x0
6
x0
2x0 x 4 py
2
x0
4 py0
0
2
p
32
2
10 x0 4 py0
y0
1
V 2, 1
a) V x0 , y 0
F 2, 5 2
b) F x0 , y0 p
c) Parámetro p
d) La directriz y
e)
32
y0 p
12
y
12
▲
1) Hallar la ecuación de la elipse de eje mayor 6U si los focos son F1 2,5 F2 2, 1 .
2) Encontrar la ecuación normal a la recta que pasa por el vértice de abscisa positiva de
la elipse x 2 4 y 2 4y forma un ángulo de 60° con el eje, si la recta pedida pasa
por el intercepto de la elipse con el eje positivo de las y .
3) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C 2 3,3 y es
tangente a la recta 5x 10 y 4 0
3) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas l1 que pasa por p1 5,4 q1 3, 2 y la recta l2 que pasa por
p2 6, 2 q27,4 y es normal a l1 .
4) Expresar en coordenadas esféricas el desplazamiento del punto p1 r1, 1, 1 al
punto p2 r2 , 2 , 2
Prof. EDDIE GAMBA SEGURA
Candidato a PhD en Matemáticas
eddiegamba@gmail.com eddiegilb@misena.edu.co
ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS
5) Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el origen si la distancia del mismo a
los focos es 1 y la longitud del ejemayor es de 5 unidades.
2
6) Sea A
456
B
3
. Hallar a) AB ,
b) BT AT .
1
a)
123
7) A= 1 3 4 . Hallar: b)
231
c)
AB
T
AB
kA
12
3
a)
5 . Hallar: b)
8) A= 2 4
c)
3
56
simétrica.
1 1i2
a)
i . Hallar: b)
9) A 1 i 3
c)
2
i0
T
T
S
H
SH
B
C
A
, También hacerlo con una matriz
A
BC
12
ab
y se tiene que AB I , hallar B .
B
34
cd11) Utilizando tres métodos de solución, obtener el valor de x, y z para el siguiente
sistema lineal de ecuaciones:
5 x 3 y 3z
1
3x 2 y 2 z
1
2x y 2z 8
12) Del ejercicio anterior obtener. a) U a partir de L , b) c a partir de L , c) realizar
la factorización LDU .
13) Solucionar el siguiente sistema de ecuaciones:
3 x1 6 x2 18x3 2 x4 2
10) Si A
x1
2 x2 13x3
3 x4
3
6 x1 2x2 16 x3 4 x4
4
14) Sea la matriz A dada por:
431
A
25
6
87
1
a) Hallar la matriz inversa, b) a esta hallarle la matriz adjunta de A, c) hallar los
valores propios:
15) Si A LU , mostrar que los pivotes de A son los mismos de AT .
16) Un inversionista cuenta con 500.000 dólares para invertir. Están estudiándose
tres inversiones, cada una con una taza de interés de 15%, 10% y18%
respectivamente. La meta del inversionista es un rendimiento promedio del 15%
en las tres inversiones. Por el rendimiento alto en la alternativa de inversión tres,
Prof. EDDIE GAMBA SEGURA
Candidato a PhD en Matemáticas
eddiegamba@gmail.com eddiegilb@misena.edu.co
ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS
el inversionista quiere que la cantidad de esta opción sea del 40% del total de lainversión. Determine la estrategia de inversión que satisfaga estas exigencias.
17) Del análisis realizado en el ejercicio14 obtener a) c a partir de L , b) el sistema
LDU .
43i
18) Sea la matriz A
2
5
6 , obtener la matriz inversa.
1
8i 7
SOLUCION
Los menores son:
M 11
M 21
47
3 7i
M 31
4
M 32
M 12
2 48i
M 22
M 13
14 40i
M 23
28 24i
47La matriz de menores es: 3 7i
18 5i
Y la matriz adjunta a A es:
adjA
H
47
2 48i
14 40i
3 7i
4
28 24i
2 48i
4
24 2i
M 33
18 5i
24 2i
14
14 40i
28 24i = M
14
18 5i
24 2i
14
El valor del determinante es:
det adjA
det H
27264 30336i 3064 1040i 4384 20808i
19816 52184i
Ahora hallamos la inversa H
1
adjH
.
det H
Los menores son:
M 11...
CONICAS
EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS
1) La ecuación x 2
a) El vértice.
la directriz.
4 x 6 y 10 0 es una parábola. Hallar:
b) El foco
c) El parámetro.
e) Dibujar la gráfica.
d) La ecuación d e
SOLUCIÓN
La ecuación general de la parábola para este caso es: x 2
. Comparando la ecuación dada con esta, se tiene:
4
4p
2 x0
6
x0
2x0 x 4 py
2
x0
4 py0
0
2
p
32
2
10 x0 4 py0
y0
1
V 2, 1
a) V x0 , y 0
F 2, 5 2
b) F x0 , y0 p
c) Parámetro p
d) La directriz y
e)
32
y0 p
12
y
12
▲
1) Hallar la ecuación de la elipse de eje mayor 6U si los focos son F1 2,5 F2 2, 1 .
2) Encontrar la ecuación normal a la recta que pasa por el vértice de abscisa positiva de
la elipse x 2 4 y 2 4y forma un ángulo de 60° con el eje, si la recta pedida pasa
por el intercepto de la elipse con el eje positivo de las y .
3) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C 2 3,3 y es
tangente a la recta 5x 10 y 4 0
3) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas l1 que pasa por p1 5,4 q1 3, 2 y la recta l2 que pasa por
p2 6, 2 q27,4 y es normal a l1 .
4) Expresar en coordenadas esféricas el desplazamiento del punto p1 r1, 1, 1 al
punto p2 r2 , 2 , 2
Prof. EDDIE GAMBA SEGURA
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eddiegamba@gmail.com eddiegilb@misena.edu.co
ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS
5) Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el origen si la distancia del mismo a
los focos es 1 y la longitud del ejemayor es de 5 unidades.
2
6) Sea A
456
B
3
. Hallar a) AB ,
b) BT AT .
1
a)
123
7) A= 1 3 4 . Hallar: b)
231
c)
AB
T
AB
kA
12
3
a)
5 . Hallar: b)
8) A= 2 4
c)
3
56
simétrica.
1 1i2
a)
i . Hallar: b)
9) A 1 i 3
c)
2
i0
T
T
S
H
SH
B
C
A
, También hacerlo con una matriz
A
BC
12
ab
y se tiene que AB I , hallar B .
B
34
cd11) Utilizando tres métodos de solución, obtener el valor de x, y z para el siguiente
sistema lineal de ecuaciones:
5 x 3 y 3z
1
3x 2 y 2 z
1
2x y 2z 8
12) Del ejercicio anterior obtener. a) U a partir de L , b) c a partir de L , c) realizar
la factorización LDU .
13) Solucionar el siguiente sistema de ecuaciones:
3 x1 6 x2 18x3 2 x4 2
10) Si A
x1
2 x2 13x3
3 x4
3
6 x1 2x2 16 x3 4 x4
4
14) Sea la matriz A dada por:
431
A
25
6
87
1
a) Hallar la matriz inversa, b) a esta hallarle la matriz adjunta de A, c) hallar los
valores propios:
15) Si A LU , mostrar que los pivotes de A son los mismos de AT .
16) Un inversionista cuenta con 500.000 dólares para invertir. Están estudiándose
tres inversiones, cada una con una taza de interés de 15%, 10% y18%
respectivamente. La meta del inversionista es un rendimiento promedio del 15%
en las tres inversiones. Por el rendimiento alto en la alternativa de inversión tres,
Prof. EDDIE GAMBA SEGURA
Candidato a PhD en Matemáticas
eddiegamba@gmail.com eddiegilb@misena.edu.co
ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS
el inversionista quiere que la cantidad de esta opción sea del 40% del total de lainversión. Determine la estrategia de inversión que satisfaga estas exigencias.
17) Del análisis realizado en el ejercicio14 obtener a) c a partir de L , b) el sistema
LDU .
43i
18) Sea la matriz A
2
5
6 , obtener la matriz inversa.
1
8i 7
SOLUCION
Los menores son:
M 11
M 21
47
3 7i
M 31
4
M 32
M 12
2 48i
M 22
M 13
14 40i
M 23
28 24i
47La matriz de menores es: 3 7i
18 5i
Y la matriz adjunta a A es:
adjA
H
47
2 48i
14 40i
3 7i
4
28 24i
2 48i
4
24 2i
M 33
18 5i
24 2i
14
14 40i
28 24i = M
14
18 5i
24 2i
14
El valor del determinante es:
det adjA
det H
27264 30336i 3064 1040i 4384 20808i
19816 52184i
Ahora hallamos la inversa H
1
adjH
.
det H
Los menores son:
M 11...
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