Conicas

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 5
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FORMALES

LA CIRCUNFERENCIA

INTRODUCCION:
Tal vez, de las Figuras Geométricas que más frecuentemente nos encontramos en nuestro entorno es la Circunferencia. Por ello su estudio es imprescindible en los cursos de Geometría, además como se vera, esta se encuentra íntimamente ligada a las Cónicas, es por ello quecomenzaremos a describir brevemente este tipo de figuras.

LAS CÓNICAS
Son Figuras Geométricas Planas que se obtienen haciendo diferentes cortes mediante planos a un Cono, la figura resultante depende del ángulo del corte, entre el plano y la base, el eje o la generatriz del cono, estas figuras pueden ser:

1.- La Circunferencia
2.- La Elipse
3.- La Parábola
4.-La Hipérbola

1.- Cuando el corte se hace paralelo a la base del cono entonces la figura que resulta será Una
Circunferencia.

2.- Si el Corte se realiza con un ángulo diferente a 0° o 180° con respecto a la base del cono, entonces la figura que resulta será una Elipse.

3.- Si el corte es paralelo a una de las Generatrices entonces la figura será una Parábola

.
3.- Si elcorte es paralelo al eje que pasa por el vértice del cono entonces la figura será una Hipérbola.

❖ En esta ocasión, de las figuras que describimos anteriormente solo estudiaremos a la Circunferencia, desde el punto de vista de la Geometría Analítica.

Circunferencia:
Es una curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista (Esta a una misma distancia, llamada Radio) de unpunto interior fijo, llamado centro. No debemos confundir a la circunferencia (Es una línea), con el círculo (es una superficie), aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados.

Aunque, para la circunferencia se definen muchos elementos (Centro, Radio, Diámetro, Tangente, Angulo Central, Arco, Semicircunferencia, Sagita, Secante, Cuerda Etc.), esta vez solo trabajaremos con los dosprimeros conceptos.

Centro y Radio:
Se llaman Parámetros de la Circunferencia al Centro y al Radio, porque en función a ellos la circunferencia cambia de posición y de tamaño respectivamente.

[pic]

❖ Ecuación General de la Circunferencia:
Forma Canónica:
En la Fig. Siguiente, se observa que el triangulo en gris, es triangulo rectángulo, por lo que se le puede aplicar el teoremade Pitágoras y se obtiene una ecuación con centro en C(h, k) y Radio R.

(X – h)² + (Y – k)² = R² (1)

La cual se llama ecuación canónica u ordinaria de la circunferencia.
Forma Homogénea:
Si se elevan los cuadrados de la ecuación anterior (1) se obtiene:

(X² - 2hX + h²) + (Y² - 2kY + k²) = R²

Separando y reagrupando términos e igualando a cero:

X² + Y² - 2hX -2kY + h² + k² - R² = 0

Considerando:
-2h = D
-2k = E
y h² + k² - R² = F

Tenemos:

X² + Y² + DX + EY + F = 0
La cual se llama ecuación General u Homogénea de la circunferencia.

❖ Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte positiva del eje “X”:
Si la Circunferencia tiene su centro en la parte
positiva del eje “X” entonces: C(h, 0)Y de la ecuación:
(X – h)² + (Y – k)² = R²

Se obtiene:
(X – h)² + (Y – 0)² = R²
(X – h)² + Y² = R²

Elevando cuadrados y reagrupando:
(X² - 2hX + h²) + Y² = R²
X² + Y²- 2hX + h² - R² = 0

como:
-2h = D
y h² - R² = F porque k = 0

Se obtiene la Ecuación:

X² + Y² + DX + F = 0

Que es la ecuación de la circunferencia con centro en la Parte Positivadel Eje “X”.

❖ Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte positiva del eje “Y”:
Si la Circunferencia tiene su centro
en la parte positiva del eje “Y” entonces: C(0, k)

Y de la ecuación:
(X – h)² + (Y – k)² = R²

Se obtiene:
(X – 0)² + (Y – k)² = R²
X² + (Y – k)² = R²

Elevando cuadrados y reagrupando:
X² + Y² - 2kY + k² = R²
X² + Y²- 2kY + k² - R² = 0

como:...