conj

Conjuntos, relaciones y funciones

1. Repaso sobre la teor´ıa de conjuntos.
Denotaremos por IN al conjunto de los n´
umeros naturales y por ZZ al de los enteros.
Dados dos conjuntos A y B decimos que A est´
a contenido en B o tambi´en que A es
un subconjunto de B si cada elemento de A es tambi´en un elemento de B, es decir, si
x ∈ A =⇒ x ∈ B. En tal caso escribimos A ⊆ B.
Decimos que losconjuntos A y B son iguales si A ⊆ B y B ⊆ A. En tal caso escribimos
A = B. Decimos que A est´
a contenido estrictamente en B si A ⊆ B y B ⊆ A, es decir, si
A ⊆ B y A = B. En ese caso escribimos A ⊂ B.
Ejemplos.
i) A = {1, 2, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
En este caso A ⊆ B pero no vale que B ⊆ A pues 4 ∈ B y 4 ∈
/ A. Luego, A est´a contenido
estrictamente en B.
ii) A = {a, b, {3}, 2}, B = {a, b,3, 2}
En este caso A ⊆ B pues {3} ∈ A y {3} ∈
/ B. Adem´
as, B ⊆ A pues 3 ∈ B y 3 ∈
/ A.
iii) ∅ ⊆ A cualquiera sea el conjunto A, donde ∅ denota el conjunto vac´ıo.
iv) A = {a, b, c, d}, B = {b, d, c, a}. En este caso A = B.
Operaciones con conjuntos. Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto dado V ,
al que llamaremos conjunto referencial. Definimos la uni´
on, intersecci´
on, complemento,diferencia y diferencia sim´etrica de la siguiente manera:
A ∪ B = {x ∈ V / x ∈ A o x ∈ B}
A ∩ B = {x ∈ V / x ∈ A y x ∈ B}
A′ = {x ∈ V / x ∈
/ A}
A − B = {x ∈ V / x ∈ A y x ∈
/ B}
A△B = (A ∪ B) − (A ∩ B)

(uni´
on)
(intersecci´
on)
(complemento respecto del conjunto referencial V )
(diferencia)
(diferencia sim´etrica)

Grafiquemos estos conjuntos en un diagrama de Venn:
V

V

B

A

B

A

A∪B

A∩B
1ALGEBRA I

Conjuntos, relaciones y funciones
V

V
A

B

A

A′

A−B
V
B

A

A△B
Observemos que, de estos conjuntos, el u
´nico que realmente depende del conjunto refe′
rencial V es A . En general, cuando trabajemos con conjuntos, siempre supondremos
que todos los conjuntos considerados son subconjuntos de un conjunto referencial y s´olo
aclararemos cu´al es ese conjunto referencial cuando seanecesario.
Ejercicio. Probar que A − B = A ∩ B ′ = {x ∈ A / x ∈
/ B}.
Diremos que los conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅.
Ejemplo. Dado el conjunto referencial V = {a, b, c, d, 2, {2}, 3, {3}, 7} sean A, B y C los
subconjuntos de V definidos por:
A = {a, b, 2, {3}}
se tiene que
A ∪ B = {a, b, 2, 3, {3}},
A△C = {a, b, {3}, 3, 7},

B = {a, b, 2, 3}

C = {2, 3, 7}

A ∩ B = {a, b, 2},

(A ∩ B) −(A△C) = {2},

B − C = {a, b}

(A ∩ B)′ = {c, d, {2}, {3}, 3, 7}

Adem´as, B − C y (A ∩ B)′ son disjuntos.

Ejercicio. Sean A, B y C los conjuntos del ejemplo anterior. Hallar todos los subconjuntos
de B ∪ C que sean disjuntos con A.

Ejercicio. Sean A = {1, ∅, a, 7} y B = {{1}, a, b, 4}, C = {3, 6, b, a}. ¿Cu´ales de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?
i) ∅ ∈ A ∪ B
ii) ∅ ∈ A ∩ B
iii) ∅ ⊆ A
iv)∅ ⊆ C
v) 7 ∈ (A ∪ C) ∩ (A△B)
2

ALGEBRA I

Conjuntos, relaciones y funciones

Propiedades de las operaciones. Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto referencial V . Entonces valen:
i) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A y A△B = B△A
ii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C y A△(B△C) = (A△B)△C
iii) A ⊆ B y B ⊆ C =⇒ A ⊆ C
iv) A ⊆ B y A ⊆ C =⇒ A ⊆ B ∩ C
v) A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B
vi) A ⊆ Cy B ⊆ C =⇒ A ∪ B ⊆ C
vii) A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B
viii) (A′ )′ = A, A ∩ A′ = ∅ y A ∪ A′ = V
ix) A△B = (A − B) ∪ (B − A)
x) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
xi) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
xii) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′
xiii) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′
Demostraci´
on: S´olo demostraremos iv), vi), viii) y xi) y dejamos como ejercicio la demostraci´on de las restantes propiedades.
Demostraci´on de iv): Sabemosque A ⊆ B y que A ⊆ C. Debemos probar que A ⊆ B ∩ C:
Sea x ∈ A. Como A ⊆ B y x ∈ A entonces x ∈ B y como A ⊆ C y x ∈ A entonces x ∈ C.
Luego resulta que x ∈ B y x ∈ C, es decir, x ∈ B ∩ C.

Demostraci´on de vi): Sabemos que A ⊆ C y que B ⊆ C. Debemos probar que A ∪ B ⊆ C:
Sea x ∈ A ∪ B. Entonces x ∈ A o x ∈ B.
Si x ∈ A entonces, como A ⊆ C resulta que x ∈ C. Si x ∈ B entonces, como B ⊆ C...