Conjunto Potencia

Conjunto potencia

En matemáticas, dado un conjunto S, el conjunto potencia o conjunto de partes de S, escrito P(S) o 2S, es el conjunto de todos los subconjuntos de S. En la teoría de conjuntosbasada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia.
Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces la lista completa de subconjuntosde S es como sigue:
1. { } (conjunto vacío);
2. {a};
3. {b};
4. {c};
5. {a, b};
6. {a, c};
7. {b, c};
8. {a, b, c};

y por lo tanto el conjunto potencia de S es
P(S)= {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Otro ejemplo más complejo es el siguiente: Sea A = { 2 , Ф }, Determinar P ( P(A) ), es decir, el conjunto potencia del conjunto potenciade A; Ф es el conjunto vacío:
Primero hacemos:
P(A) = { Ф, {2}, {Ф}, A }
y luego hacemos P ( P(A) ) :
P ( P(A) ) = { Ф ,
{ Ф } , { {2} } , { {Ф} } , { A },
{ Ф, {2} } , { Ф, {Ф} } , { Ф, A }, {{2} , {Ф} } , { {2} , A } , { {Ф}, A },
{ Ф, {2}, {Ф} } , { Ф, {2}, A }, { Ф, {Ф}, A }, { {2}, {Ф}, A }
y P(A) }

Cuando S es finito, si n = |S| es el número de elementos de S, en este caso 3,entonces el respectivo conjunto potencia contiene |P(S)| = 2n elementos, en este caso 23 = 8. En este caso también se puede establecer una biyección entre los elementos del conjunto potencia con númerosde n-bits: el n-ésimo bit se refiere a la presencia o ausencia del n-ésimo elemento de S. Hay 2n tales números.
Este argumento prueba la identidad de coeficientes binomiales:

La cardinalidad de unconjunto potencia siempre es mayor que la cardinalidad del conjunto base, el argumento diagonal de Cantor demuestra la afirmación para conjuntos infinitos, mientras que el hecho de que n < 2n laprueba para conjuntos finitos.
El conjunto potencia de los números naturales, por ejemplo, se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números reales. Usualmente se establece...