Conjunto Potencia Y Producto Cruz
Sea
A un conjunto. Llamamos conjunto potencia de A, y notamos P(A),
al conjunto de todos los subconjuntos de A.
P(A) también se conoce como el “conjunto de las partes de A".Formalmente:
Conjunto potencia
(∀X)(X ∈ P(A) ⇐⇒ X ⊆ A)
Note que siempre ∈ P(A) y A ∈ P(A).
Veamos dos ejemplos.
Ejemplos
Suponga que A = {1, 2, 3}.
En P(A) están todos los subconjuntos de A. O sea,
P(A) ={ , {1}, {2},{3}, {1, 2}{1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
1
Suponga ahora que A = ¿Cuáles son los subconjuntos de ?
Solamente el mismo . Luego P() = {}.
Note que = {} pues el primer conjunto notiene
ningún elemento mientras que el segundo tiene
un elemento.
#cardinalidad
Cantidad de elementos
Teorema : Sea n
Mostraré
para el caso de n=0,1,2
Si n=0, A= , P()={
Si n=1, A tiene 1 elemento.Sea a, A={a} , P(A)={{a}, y #P(A)=2
Si n=2, A tiene 2 elementos. Sean a,b A, A={a,b}, entonces P(A)={, A, {a},
{b}} y #P(A)=4
Ejercicio:
Dado el conjunto A = {a, b}, determine los siguientes
1. P(A)2. P(P(A))
3. #P(A)
4. #P(P(A))
Pares ordenados
Notemos que los conjuntos {a, b} y {b, a} son idénticos. En efecto, ambos
contienen a los mismos elementos.
Quisiéramos introducir
un objeto quedistinga el orden de
los elementos.
La solución no es muy difícil. Basta con definir los pares ordenados así:
(a, b) = {{a}, {a, b}}.
La propiedad fundamental de los pares ordenados
es la siguiente.
a, b, x, y se tiene:
(a, b) = (x, y) ⇐⇒ a = x ∧ b = y
Demostración página 30 Libro Elementos de Älgebra.
Producto cartesiano
Sean A, B conjuntos. Se define el producto cartesiano de A con
B, que sedenota A × B, del siguiente modo:
Producto cartesiano
(∀x, y) [(x, y) ∈ A × B ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ B]
Ejemplo
Sean A = {1, 2, 3} y B = {3, 6}. Se tiene que
A × B = {(1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6), (3, 3),(3, 6)}
Propiedades del producto cartesiano:
Sean
A, B, C,D conjuntos.
1. (c
2. AxB=
3. Ax(B
4. (A
5. Ax(B
6. (A
7. (AxB)-(CxD)=[(A-C)xB]
8. (AxC) (BxD)=(A B)x(C D)
9. (AXC) (BxD) (A B)x(C D)...
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